X-ENS 2022, Приемен изпит, физика и химия — Задача 3. Étude expérimentale des états métastables de l’hélium

CONCOURS D’ADMISSION 2022 — FILIERE PC — Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) · 27 април 2022 г.

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2022

MERCREDI 27 AVRIL 2022 — 08h00 - 12h00

FILIERE PC - Epreuve n° 5

PHYSIQUE B (XEULS)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Étude de l’hélium superfluide métastable

Introduction

Dans ce sujet, nous nous intéressons à l’hélium 4 (ou $^{4}\mathrm{He}$) à basse température, que nous appellerons simplement hélium par la suite. La première partie permet d’aborder les propriétés singulières de l’hélium liquide à basse température. L’hélium liquide peut être préparé dans des états dits “métastables” : la description de ces états fera l’objet de la seconde partie. Enfin, la troisième partie traite de l’étude expérimentale de l’hélium métastable par deux techniques : la mesure de la masse volumique par interférométrie et la mesure de la “fréquence Brillouin” par diffusion Brillouin. Ces deux mesures permettent de remonter à l’équation d’état de l’hélium métastable. Ces trois parties, ainsi que les sous-parties 3.1 et 3.2, sont dans une large mesure indépendantes.

Indications

On donne $\sqrt[3]{50} \simeq 3{,}5$.

Constantes fondamentales

• célérité de la lumière dans le vide : $c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m.s^{-1}}$
• permittivité diélectrique du vide : $\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F.m^{-1}}$
• constante de Planck : $h \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
• constante de Planck réduite : $\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$
• constante de Boltzmann : $k_B \simeq 1{,}4 \times 10^{-23}\ \mathrm{J.K^{-1}}$

Notations et grandeurs liées à l’hélium liquide

• masse atomique : $m_{\mathrm{He}} \simeq 7 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$
• polarisabilité atomique : $\alpha$
• pression de vapeur saturante (coexistence liquide-gaz) : $p_{\mathrm{sat}}$
• vitesse du son à $T \simeq 1\ \mathrm{K}$ : $v \simeq 200\ \mathrm{m.s^{-1}}$
• indice optique : $n \simeq 1$

Условие

On étudie les états métastables de l’hélium en focalisant une onde ultrasonore de fréquence $1\ \mathrm{MHz}$ au sein du fluide à l’aide d’un “émetteur piézoélectrique”. Un tel émetteur est représenté en Fig.3. Sa forme est celle d’une coquille hémisphérique. Lorsqu’une tension est appliquée entre les faces intérieure et extérieure de l’émetteur, le matériau se contracte ou se dilate (selon le signe de la tension), et permet ainsi de créer une onde sonore focalisée au sein de l’hélium.

13. On part d’une situation à $p_{\mathrm{sat}}$. On s’intéresse aux variations de pression et de masse volumique au foyer acoustique. On suppose que les variations de pression au foyer sont sinusoïdales et d’amplitude $\delta p$. L’hélium reste liquide pendant toute la durée de l’expérience. Représenter l’évolution temporelle de la pression $p(t)$ et repérer les instants où l’hélium est dans un état métastable. Quelle est la durée caractéristique de l’état métastable ? Quelle est sa taille typique $\delta x$ pour l’hélium liquide à $1\ \mathrm{K}$ ? Que se passe-t-il si $\delta p \gt p_{\mathrm{sat}}$ ?

L’introduction du moindre appareil de mesure au niveau de la région métastable provoquerait sa rupture (c’est-à-dire la cavitation de l’hélium). Il faut donc utiliser des méthodes d’étude non perturbatives. Des méthodes de mesure optiques s’avèrent particulièrement adaptées. Dans la suite, on s’intéresse à la mesure de masse volumique et à la mesure de la “fréquence Brillouin” au sein de l’onde acoustique.

3.1 Mesure de $\rho$ par interférométrie

On donne la relation de Clausius-Mossoti, valable dans l’hélium, qui relie l’indice optique $n$ à la masse volumique $\rho$ :

où $\alpha$ est un coefficient appelé “polarisabilité atomique” de l’hélium. On note $\delta\rho$ la variation de masse volumique créée par le passage de l’onde sonore focalisée dans l’hélium, et on note $\delta n$ la variation d’indice optique associée.

14. Montrer que l’on a, dans le cas de l’hélium où $n = 1 + \epsilon$ avec $\epsilon \ll 1$ :

Il est possible de mesurer l’indice optique dans l’hélium en utilisant un interféromètre, comme celui de la Fig.4, appelé interféromètre de Jamin. L’interféromètre de Jamin est un dispositif qui repose sur l’utilisation de deux lames épaisses identiques d’épaisseur $e$ et parallèles entre elles. La face arrière de chaque lame est un miroir parfait. Cet interféromètre est éclairé par une source laser de longueur d’onde $\lambda$, assimilée à une onde plane monochromatique. Le faisceau incident est divisé en deux faisceaux par la première lame. Les faisceaux sont envoyés dans une cellule contenant l’hélium (et elle-même est placée au sein d’un cryostat, non représenté sur la figure). Un des deux faisceaux traverse l’hélium liquide soumis à l’onde sonore (bras (1)), tandis que l’autre traverse l’hélium liquide au repos (bras (2)). Les faisceaux sont ensuite recombinés par la deuxième lame.

15. L’interféromètre de Jamin est-il un interféromètre à division d’amplitude ou de front d’onde ?

L’indice de l’air et l’indice de l’hélium sont supposés être égaux à 1. L’indice des lames de verre est noté $n_v$. On note $\theta_i$ l’angle d’incidence des faisceaux sur les lames.

16. Montrer que la distance $d$ séparant les bras (1) et (2) de l’interféromètre est donnée par :

17. Quel déphasage $\Phi(\theta_i)$ chaque lame de Jamin induit-elle entre les faisceaux ? Quel est le déphasage $\delta\phi$ entre les deux faisceaux en sortie de l’interféromètre et en l’absence d’onde sonore ?

18. Donner la variation du déphasage induit par le non-parallélisme des lames (écart angulaire $\delta\theta$ entre les lames). On fera apparaître $d$ dans l’expression obtenue.

On crée une onde sonore dans l’hélium. Seul le faisceau (1) est affecté par la présence de l’onde sonore. On suppose que l’onde sonore créée a une symétrie radiale autour de l’axe $Oz$ (voir Fig.5), et on note $n(r, z) = 1 + \delta n(r, z)$ l’indice optique de l’hélium en présence de l’onde sonore ($n = 1$ au repos). On suppose que la propagation du faisceau (1) reste rectiligne et que les variations d’indice $\delta n(r, z)$ sont nulles pour $r \gt R$.

19. Exprimer la différence de phase $\delta\phi(x, z)$ entre les deux faisceaux de l’interféromètre en faisant apparaître une intégrale sur $\delta n(r, z)$ le long du chemin optique.

Étant donnée la symétrie radiale du problème, la mesure de $\delta\phi(x, z)$ pour tout $z$ permet de remonter à la variation d’indice optique $\delta n(r, z)$ grâce à une opération mathématique appelée “transformation d’Abel”. On remonte ensuite à $\delta\rho$, et donc à $\rho$, par l’équation (4).

3.2 Mesure de la fréquence Brillouin

Une autre méthode pour étudier les états métastables est l’étude de la diffusion Brillouin. Expérimentalement, on focalise un faisceau laser, de longueur d’onde $\lambda \simeq 1\ \mathrm{\mu m}$, au niveau du foyer de l’onde sonore créée dans l’hélium par l’émetteur piézoélectrique (voir Fig.6). La demi-ouverture angulaire du faisceau est $\theta_o \simeq 7 \times 10^{-2}\ \mathrm{rad}$.

20. a) En supposant que les faisceaux sont gaussiens, donner le rayon typique minimal $w_{\mathrm{min}}$ des faisceaux au niveau du point de focalisation. Ce rayon typique correspond à la résolution spatiale de l’expérience. La résolution spatiale minimale est-elle suffisante pour étudier la région métastable ?

20. b) On prend un faisceau gaussien de rayon minimal $w = 3w_{\mathrm{min}}$. Que vaut la longueur de Rayleigh du faisceau ? Comment peut-on alors décrire le faisceau au niveau de la région métastable ?

De manière générale, lors de sa propagation dans un milieu uniforme, une fraction (très faible) de la lumière peut être diffusée par des fluctuations “spontanées” de densité qui se propagent dans le milieu. Dans l’expérience considérée ici on s’intéresse à la diffusion du laser par des fluctuations de densité qui se propagent à l’intérieur de la région métastable. Ces fluctuations sont d’origine thermique et ne doivent pas être confondues avec le champ acoustique produit par l’émetteur piézoélectrique pour créer la région métastable. Le faisceau diffusé par ces fluctuations est décalé en fréquence (décalage Doppler). La mesure de ce décalage permet de remonter à la vitesse du son au sein de la région métastable.

Pour étudier ce phénomène, on considère que les faisceaux laser sont constitués de photons, d’impulsion $\vec k_1$ et de pulsation $\omega_1$ (respectivement $\vec k_2$ et $\omega_2$) pour le faisceau incident (resp. diffusé). On assimile également une fluctuation de densité dans la région métastable à une quasi-particule (appelée “phonon”) de vecteur d’onde $\vec q_B$ (et d’impulsion $\hbar\vec q_B$) et de pulsation $\Omega_B$ (et d’énergie $\hbar\Omega_B$). On peut voir la diffusion de la lumière par la fluctuation de densité, c’est-à-dire la diffusion d’un photon par un phonon, comme la collision : photon 1 + phonon $\to$ photon 2 (avec l’annihilation du phonon).

21. a) Donner les relations de dispersion pour la lumière et le son dans l’hélium liquide (c’est-à-dire la relation entre $|\vec k_i|$ et $\omega_i$ $(i = 1, 2)$ d’une part, et $|\vec q_B|$ et $\Omega_B$ d’autre part).

21. b) Écrire les équations de conservation de l’impulsion et de l’énergie lors de cette collision.

21. c) On note $\theta$ l’angle entre les vecteurs $\vec k_1$ et $\vec k_2$, aussi appelé angle de diffusion. On fait l’hypothèse : $\Omega_B \ll \omega_1, \omega_2$. Dans le cadre de cette approximation, montrer que

avec $\omega \simeq \omega_1 \simeq \omega_2$. Donner la valeur de $f_B = \Omega_B/2\pi$ pour un angle de diffusion $\theta \simeq \pi/2$. Discuter la validité de l’hypothèse utilisée.

La fraction de lumière diffusée est très faible, surtout dans un liquide à quelques Kelvin où les fluctuations thermiques (à l’origine du processus de diffusion) sont quasiment inexistantes. Cependant on peut “stimuler” la diffusion en focalisant un deuxième laser dans le milieu. Son interférence avec le premier laser va créer une force volumique qui s’exerce sur le fluide. Cette force renforce les fluctuations de densité, et renforce ainsi le processus de diffusion.

Pour le comprendre, on utilise une autre approche : on étudie la diffusion à partir des équations classiques d’évolution de la masse volumique et des champs électriques. On donne l’équation de propagation des ondes acoustiques dans un fluide de masse volumique $\rho(\vec r, t)$ en présence d’une force volumique $\vec f$ et en présence d’atténuation :

où $\Gamma'$ est un paramètre d’amortissement positif et où $\Delta$ désigne l’opérateur laplacien.

On néglige toute force volumique $\vec f$ pour le moment. On considère la propagation d’une onde plane monochromatique. On écrit ainsi $\rho(\vec r, t) = \rho_0 + \rho_1(\vec r, t)$ avec $\rho_0$ la masse volumique du milieu au repos et $\rho_1(\vec r, t) = \mathrm{Re}[\underline{\rho}_1(\vec r, t)]$ avec $\underline{\rho}_1(\vec r, t) = \underline{\delta\rho}\, e^{i(\Omega_B t - \vec Q\cdot\vec r)}$ où $\underline{\delta\rho}$ est une amplitude complexe (constante) et $\vec Q$ et $\Omega_B$ sont les vecteur d’onde et pulsation de l’onde sonore.

22. Donner la relation de dispersion des ondes sonores dans le milieu. On note $Q = |\vec Q|$. Développer l’expression de $Q$ au premier ordre en $\Gamma'$ et le mettre sous la forme $Q = a - ib$ avec $a$ et $b$ deux constantes réelles.

Un fluide soumis à un champ électrique $\vec E$ statique subit une pression (appelée “pression strictive”) donnée par : $p_{\mathrm{st}} = -\frac{1}{2}\epsilon_0\gamma_e E^2$ où $E = |\vec E|$ et où $\gamma_e$ est une constante positive sans dimension.

23. Commenter le signe de $p_{\mathrm{st}}$ : comment le milieu réagit à un champ électrique ? Donner la force volumique résultant de cette pression.

Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement, de champ électrique $\vec E_1(z, t) = \mathrm{Re}[\underline{\vec E}_1(z, t)]$ avec $\underline{\vec E}_1(z, t) = \underline{\vec E}_{1,0}(z)e^{i(\omega_1 t - k_1 z)}$ (où $\underline{\vec E}_{1,0}(z)$ est une amplitude complexe qui ne dépend pas du temps), se propage dans le fluide dans la direction $z$. La pulsation de cette onde correspond au domaine visible. De même que précédemment, une force strictive est associée au passage de l’onde, mais la pression strictive est cette fois donnée en remplaçant $E^2$ par sa moyenne temporelle $\lt \vec E\cdot\vec E \gt$ sur un temps $\tau$ tel que $\tau \gg 2\pi/\omega_1$.

24. Exprimer la pression strictive dans un tel cas.

On considère la propagation d’une deuxième onde électromagnétique plane progressive monochromatique polarisée linéairement, se propageant en sens opposé, de champ électrique $\vec E_2(z, t) = \mathrm{Re}[\underline{\vec E}_2(z, t)]$ avec $\underline{\vec E}_2(z, t) = \underline{\vec E}_{2,0}(z)e^{i(\omega_2 t + k_2 z)}$ (où $\underline{\vec E}_{2,0}(z)$ est une amplitude complexe qui ne dépend pas du temps). Le champ $\vec E_2(z, t)$ oscille à une pulsation proche de celle de $\vec E_1(z, t)$ : en posant $\omega_1 = \omega_2 + \Omega$ on a donc $|\Omega| \ll \omega_2$.

25. Que vaut la moyenne temporelle du carré du champ électrique total $\lt \vec E\cdot\vec E \gt$ en fonction de $z$ et de $t$ ? On moyenne, autour de $t$, sur un temps $\tau$ tel que $\tau \ll 2\pi/\Omega$ et $\tau \gg 2\pi/\omega_2$. En déduire la force strictive associée. On notera $q = k_1 + k_2$.

26. En négligeant les termes en $\dfrac{\partial\underline{\vec E}_{i,0}}{\partial z}$ (avec $i = 1, 2$) devant les termes en $q\underline{\vec E}_{i,0}$, montrer que le terme de forçage de l’équation (7) est donné par $\mathrm{div}\vec f = -\frac{1}{2}\epsilon_0\gamma_e q^2\mathrm{Re}[\underline{\vec E}_{1,0}\cdot\underline{\vec E}^{*}_{2,0}e^{i(\Omega t - qz)}]$ où $\underline{\vec E}^{*}_{2,0}$ est le complexe conjugué de $\underline{\vec E}_{2,0}$.

En présence de ce terme de forçage, on cherche des solutions de l’équation (7) de la forme $\rho = \rho_0 + \mathrm{Re}[\underline{\delta\rho}\, e^{i(\Omega t - qz)}]$, où on suppose pour simplifier que $\underline{\delta\rho}$ est une amplitude complexe uniforme et constante.

27. Montrer que

avec $\eta(q, \Omega)$ une fonction de $q$ et de $\Omega$ que l’on explicitera et où on fera également apparaître $\Gamma_B = q^2\Gamma'$ et $\Omega_B = qv$.

En supposant $\left|\dfrac{1}{k_i}\dfrac{\partial\underline{\vec E}_i}{\partial z}\right| \ll |\underline{\vec E}_i|$ (avec $i = 1, 2$) on peut montrer que la propagation des champs électriques dans le milieu soumis à la modulation de densité conduit aux équations :

où $\underline{\delta\rho}^{*}$ est le complexe conjugué de $\underline{\delta\rho}$. On suppose de plus que les champs électriques $\vec E_1$ et $\vec E_2$ ont la même polarisation.

On pose $I_1 = \epsilon_0 c|\underline{\vec E}_{1,0}|^2/2$ et $I_2 = \epsilon_0 c|\underline{\vec E}_{2,0}|^2/2$ les intensités des champs électriques 1 et 2 (qui s’expriment en $\mathrm{W.m^{-2}}$). On se placera désormais dans le cas où $\Omega^2\Gamma_B^2 \simeq \Omega_B^2\Gamma_B^2$ et $\Omega^2 - \Omega_B^2 \simeq 2\Omega_B\Delta\Omega$ avec $\Delta\Omega = \Omega - \Omega_B$.

28. Montrer que

où l’on n’ explicitera pas la constante positive $g_\infty$.

29. On s’intéresse au cas où l’intensité du champ électrique 1 est beaucoup plus grande que celle du champ électrique 2. Dans un tel cas, on peut supposer que $I_1$ reste constante. En déduire la dépendance de $I_2$ en $z$. La pulsation $\omega_1$ est fixée, mais on peut faire varier $\omega_2$ dans l’expérience. Que se passe-t-il “à résonance”, i.e. lorsque $\Delta\Omega = 0$ ? Que se passe-t-il “hors résonance”, c’est-à-dire lorsque $|\Delta\Omega| \gg \Gamma_B$ ? On mesure l’intensité $I_2$ en sortie de la cellule contenant l’hélium. Proposer une méthode pour déterminer précisément $\Omega_B$.

30. Dans l’hélium, $g_\infty \simeq 10^{-9}\ \mathrm{m.W^{-1}}$. En déduire l’ordre de grandeur de $I_1$ pour avoir une amplification de $I_2$ à la résonance de l’ordre de 1% sur une échelle typique de $10\ \mathrm{\mu m}$. Commenter ce résultat.

On cherche à appliquer cette méthode à l’étude de l’hélium métastable. Pour avoir une amplification significative, $I_1$ doit être important. On utilise donc pour le champ 1 un laser qui émet des impulsions lumineuses de durée $\tau_l$. Ceci permet d’obtenir des puissances instantanées très importantes. La longueur d’onde des lasers est $\lambda \simeq 1\ \mathrm{\mu m}$.

31. Comment doit-on choisir $\tau_l$ pour sonder les états métastables ? Quelle est la conséquence sur la largeur spectrale du laser ? En déduire la résolution spectrale de l’expérience.

32. Détermination expérimentale de l’équation d’état. Comment, à partir des mesures de $\rho$ et de $f_B(\rho) = \Omega_B(\rho)/2\pi$, peut-on remonter à l’équation d’état $p(\rho)$ ? On exprimera $p(\rho)$ en faisant apparaître une intégrale d’une fonction qui dépend de la masse volumique $\rho$. On note par ailleurs $\rho_{\mathrm{sat}}$ la masse volumique pour $p = p_{\mathrm{sat}}$. On rappelle que la vitesse du son est donnée par $v = \dfrac{1}{\sqrt{\rho\chi_S}}$ où $\chi_S = \dfrac{1}{\rho}\left(\dfrac{\partial\rho}{\partial p}\right)_S$ est la compressibilité isentropique. On fera également apparaître $\lambda$ dans l’expression de $p(\rho)$.

- Fin du sujet -

Решение

---

Оригинал в Архива: PC_2022.pdf