X-ENS 2023, Приемен изпит, математика и физика — Задача 1. Fusion thermonucléaire au cœur du Soleil

ECOLE POLYTECHNIQUE — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE MP - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE (XULSR) · 19 април 2023 г.

Consignes

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Présentation de l’épreuve

L’épreuve est composée de deux problèmes indépendants. On se contentera de réponses courtes, sauf lorsque l’énoncé demande d’expliquer, d’interpréter, ou de commenter.

Условие

L’énergie rayonnée par le Soleil est issue des réactions nucléaires de fusion qui se produisent en son centre. Leur étude est l’objet de cette partie.

1. Le Soleil est constitué en majorité d’hydrogène et d’hélium. L’intérieur du Soleil est si chaud que les atomes sont entièrement ionisés. Comment appelle-t-on cet état de la matière ?

2. La fusion nucléaire est un processus dans lequel deux noyaux légers se rapprochent suffisamment pour fusionner l’un avec l’autre. La répulsion électrostatique rendrait ce rapprochement impossible en l’absence d’un phénomène de physique quantique, qui leur permet de franchir la barrière de potentiel. De quel effet s’agit-il ?

3. Nous étudions d’abord le cas simple, à une dimension, de l’état stationnaire d’énergie $E$ d’une particule quantique de masse $m$, qui rencontre une marche de potentiel. L’énergie potentielle vaut 0 pour $x < 0$ et $V$ pour $x \geq 0$, avec $V > E$. On note $\psi(x)$ la partie spatiale de la fonction d’onde de la particule dans son état stationnaire. Déterminer l’expression de $\psi(x)/\psi(0)$ pour $x > 0$. On notera $t(x) = \psi(x)/\psi(0)$.

4. On considère maintenant une barrière de potentiel de hauteur $V$ et de longueur $L$ : l’énergie potentielle est nulle pour $x < 0$ et $x > L$, et vaut $V$ pour $0 \leq x \leq L$, toujours avec $V > E$. On admet que si le coefficient de transmission de la barrière, qu’on notera $\Theta(E)$, est très faible, son expression est approximativement donnée par $\Theta(E) = |t(L)|^2$, où $t(x)$ est la fonction déterminée à la question précédente. Préciser, en fonction des données du problème, comment se traduit mathématiquement la condition $\Theta(E) \ll 1$. Rappeler la définition du coefficient de transmission pour ce processus. Expliquer, sans calcul, pourquoi l’expression proposée n’est qu’approximative.

On considère maintenant le cas où l’énergie potentielle $V(x)$ dépend de $x$ de manière continue. On suppose qu’elle vérifie toujours $V(x) > E$ pour $0 \leq x \leq L$ et $V(x) < E$ pour $x < 0$ et pour $x > L$, de telle sorte que la barrière de potentiel a une longueur $L$. On admet que le coefficient de transmission s’obtient approximativement en effectuant, dans le résultat de la question précédente, la substitution suivante :

5. Nous allons appliquer ce résultat au cas où $x$ désigne la distance relative entre deux protons se déplaçant sur un même axe, et $V(x)$ l’énergie potentielle de leur interaction électrostatique. Rappeler l’expression de $V(x)$ et tracer l’allure de sa variation en fonction de $x$ pour $x > 0$. On notera $e$ la charge électrique élémentaire.

6. Les protons sont initialement à grande distance l’un de l’autre. $E$ est l’énergie cinétique de leur mouvement relatif, dont nous déterminerons l’expression plus loin. La fusion nucléaire a lieu lorsque les protons se trouvent au même point, soit $x = 0$. Exprimer la longueur $L$ de la barrière de potentiel qu’ils doivent franchir pour que la fusion ait lieu, en fonction de $E$ et des constantes fondamentales.

7. Calculer le coefficient de transmission $\Theta(E)$ en le mettant sous la forme $\Theta(E) = \exp\left(-(E_G/E)^{1/2}\right)$. On donne l’intégrale

Donner l’expression de $E_G$, dite énergie de Gamow, en fonction de la masse $m$ de la particule et des constantes fondamentales.

8. Représenter la variation de $\Theta(E)$ en fonction de $E$.

9. On note $v_1$ et $v_2$ les vitesses des protons, en valeur algébrique, sur l’axe $x$. On note $v_G$ la vitesse de leur barycentre et $v = v_1 - v_2$ leur vitesse relative. Exprimer la somme de leurs énergies cinétiques en fonction de $v_G$, $v$, et de la masse du proton $m_p$. Montrer que l’énergie cinétique $E$ associée au mouvement relatif est l’énergie d’une particule fictive de masse $\mu$ dont on donnera l’expression en fonction de $m_p$.

On admet dans la suite que la masse $m$ intervenant dans l’énergie de Gamow est en fait la masse $\mu$ qui vient d’être introduite.

10. Les deux protons considérés précédemment sont supposés appartenir à un gaz de protons que l’on modélise par un gaz parfait unidimensionnel à la température $T$. On note $P(v_1,v_2)\, \mathrm{d}v_1\, \mathrm{d}v_2$ la probabilité élémentaire pour deux protons d’avoir des vitesses $v_1$ et $v_2$ à $\mathrm{d}v_1$ et $\mathrm{d}v_2$ près. Expliciter la dépendance de $P(v_1,v_2)$ en fonction de $v_1$ et $v_2$. On ne cherchera pas à déterminer la constante de normalisation, et on notera $k_B$ la constante de Boltzmann.

11. On note $P^*(v_G,v)\, \mathrm{d}v_G\, \mathrm{d}v$ la probabilité élémentaire que la vitesse du centre de masse soit $v_G$ à $\mathrm{d}v_G$ près, et que la vitesse relative soit $v$ à $\mathrm{d}v$ près. Montrer que $P^*(v_G,v)$ peut se mettre sous la forme $P_G(v_G)P^*(v)$. Expliciter les expressions de $P_G(v_G)$ et de $P^*(v)$ aux constantes de normalisation près. Commenter la forme de $P^*(v)$.

12. On note $p(E)\mathrm{d}E$ la probabilité que l’énergie cinétique relative vaille $E$ à $\mathrm{d}E$ près. Par un changement de variables de $v$ à $E$, donner l’expression de $p(E)$ en fonction de E à une constante multiplicative près

13. On note $\Gamma(E)\mathrm{d}E$ le nombre de réactions nucléaires de fusion par unité de temps, pour une énergie relative valant $E$ à $\mathrm{d}E$ près. On postule que $\Gamma(E)$ est proportionnel à $v\, p(E)\, \Theta(E)$. Comment interprétez-vous cette modélisation ?

14. En utilisant les résultats obtenus précédemment, exprimer $\Gamma(E)$ en fonction de $E$. On écrira le résultat sous la forme $\Gamma(E) = K \exp(-\phi(E))$, où $K$ ne dépend pas de $E$, et on exprimera $\phi(E)$ en fonction de $E$, $E_G$ et $k_B T$.

15. Étudier la variation de $\phi(E)$. Montrer que $\Gamma(E)$ possède un maximum pour une valeur de $E$ qu’on notera $E_0$ et qu’on exprimera en fonction de $E_G$ et $k_B T$.

16. Situer l’énergie $E_0$ par rapport à $E_G$ et $k_B T$ dans la limite où $E_G \gg k_B T$. Dans le cas de la fusion entre deux protons au cœur du Soleil, les valeurs numériques sont $E_G \simeq 500\ \mathrm{keV}$ et $k_B T \simeq 1{,}5\ \mathrm{keV}$. Déterminer l’ordre de grandeur de $E_0$.

17. Déterminer l’expression littérale de $\phi(E_0)$ en fonction de $E_G$ et $k_B T$, puis calculer son ordre de grandeur avec les valeurs numériques données plus haut.

18. Tracer l’allure de $\Gamma(E)$. Quelle est la particularité de la variation de $\Gamma(E)$ avec $E$ dans la limite où $E_G \gg k_B T$ ?

19. Généraliser les résultats obtenus au cas de la fusion de deux noyaux de numéros atomiques $Z_1$ et $Z_2$, de masses $m_1$ et $m_2$ quelconques. Déterminer en particulier comment la valeur de $\mu$ et l’énergie de Gamow, $E_G$, sont modifiées.

20. Le taux d’une réaction nucléaire de fusion est défini comme le nombre de réactions de fusion par unité de volume et de temps, divisé par le produit des densités volumiques des deux noyaux impliqués dans le processus de fusion. Ainsi défini, le taux de réaction est indépendant des densités, et ne dépend que de la température. Une modélisation en trois dimensions, plus réaliste que celle développée jusqu’alors, donne un taux de réaction de la forme $a_i T^{-2/3} \exp\left(-(b_i/T)^{1/3}\right)$, où $a_i$ et $b_i$ sont des constantes qui dépendent de la réaction de fusion étudiée. La table ci-après donne les valeurs de ces constantes pour diverses réactions. $b_i$ et $T$ sont en unités de $10^9$ K (milliards de Kelvin), et les unités des coefficients $a_i$ sont telles que les taux de réaction soient en $\mathrm{m^3 s^{-1} mol^{-1}}$. On désigne le proton par $p$, le neutron (dont la masse est très proche de celle du proton) par $n$. Les symboles D, $^3$He et $^4$He désignent les noyaux des atomes correspondants (D = deutérium = $^2$H), $\gamma$ désigne le photon, $e^+$ le positon (électron chargé positivement) et $\nu_e$ le neutrino.

Montrer que la modélisation développée précédemment permet de prédire certaines relations entre les quantités $b_1$, $b_2$ et $b_3$. Vérifier ces prédictions à l’aide d’applications numériques.

Решение

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Оригинал в Архива: MP_2023.pdf