X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 2. I.1 Lien entre la constante de structure fine α et la constante de Rydberg R∞

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

I Principe de la mesure de la constante de structure fine α\alpha

En 1888, Johannes Rydberg trouve une formule empirique qui permet d’exprimer les longueurs d’onde des raies d’émission de l’hydrogène :

1λ=R∞(1n12−1n22)(4)\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) \qquad (4)

avec n1n_1 et n2n_2 deux entiers (n1<n2n_1 < n_2), et R∞R_\infty une constante alors appelée constante de Rydberg. Cette observation marque les débuts de l’avènement de la physique quantique.

Niels Bohr propose en 1913 un modèle “semi-classique” permettant d’expliquer ces observations. Il développe un “modèle planétaire” de l’atome d’hydrogène, alors modélisé par un proton de charge +e+e supposé fixe, et un électron de charge −e-e et de masse mem_e, non relativiste, soumis à la force électrostatique du proton et en orbite circulaire autour de lui. Niels Bohr fait également l’hypothèse de la quantification du moment cinétique orbital LL de l’électron en écrivant L=nℏL = n\hbar où nn est un entier naturel non nul. À chaque valeur de nn correspond une orbite différente.

2.a Pourquoi un tel modèle est-il qualifié de semi-classique ?

2.b Exprimer les vitesses vnv_n associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale est-elle atteinte ? Exprimer sa valeur en fonction de cc et de α\alpha. Est-il alors légitime de considérer que l’électron est non relativiste dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène ?

2.c Calculer l’énergie mécanique EnE_n de l’électron en fonction de nn. Retrouver la formule de Rydberg (Éq. (4)) et en déduire l’expression de R∞R_\infty en fonction de mem_e, ee, hh, cc et ϵ0\epsilon_0.

Si un tel modèle a ses limites, la constante de Rydberg continue d’intervenir dans les modèles théoriques les plus perfectionnés pour décrire les raies d’émission de l’atome d’hydrogène. La mesure précise de ces raies a permis de déterminer R∞R_\infty avec une précision relative de 2×10−122 \times 10^{-12}.

3.a Montrer

α=2R∞c×mme×hm(5)\alpha = \sqrt{\frac{2R_\infty}{c} \times \frac{m}{m_e} \times \frac{h}{m}} \qquad (5)

avec mm la masse d’un atome de Rubidium.

On fait ici intervenir le rapport me/mm_e/m car il est expérimentalement plus aisé de mesurer indépendamment la masse mm de l’atome de Rubidium 87 (beaucoup plus grande que celle d’un électron) et la masse relative de l’électron par rapport à cet atome. Le rapport m/mem/m_e a pu être mesuré avec une précision relative de 7×10−117 \times 10^{-11}.

3.b On note u(α)u(\alpha) l’incertitude-type sur α\alpha. Donner la formule reliant l’incertitude relative u(α)/αu(\alpha)/\alpha sur la mesure de α\alpha à celle des autres grandeurs R∞R_\infty, m/mem/m_e et mm qui interviennent dans son expression d’après l’Éq. (5). Pourquoi aucune incertitude ne doit être associée à la valeur de cc et de hh ? Vérifier que l’on a :

u(m)m≃1,5×10−10(6)\frac{u(m)}{m} \simeq 1{,}5 \times 10^{-10} \qquad (6)

Mesurer précisément α\alpha revient donc à mesurer précisément mm. Dans la suite, nous nous intéressons à la mesure de mm par interférométrie atomique.

Решение

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

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¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf