X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 3. I.2.1 Transitions à un ou à deux photons et effet de recul

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

I.2 Mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87

En mécanique quantique, un atome peut être décrit par une fonction d’onde dont l’évolution est donnée par l’équation de Schrödinger. De même qu’en interférométrie optique un faisceau lumineux est séparé en plusieurs sous-faisceaux, qui sont ensuite recombinés en sortie de l’interféromètre, l’interférométrie atomique consiste à “séparer spatialement” et à recombiner la fonction d’onde associée à un atome. Cette séparation de la fonction d’onde peut être effectuée à l’aide de séparatrices atomiques, qui sont des impulsions laser qui tirent profit de l’effet de recul associé à l’absorption ou l’émission d’un photon.

I.2.1 Transitions à un ou à deux photons et effet de recul

On considère un atome de Rubidium 87, de masse mm. L’énergie mécanique totale de l’atome, notée EE, peut être décomposée en trois parties : l’énergie cinétique et l’énergie potentielle de l’atome, et l’énergie mécanique des électrons (ou énergie électronique). L’énergie mécanique des électrons peut valoir EaE_a, EbE_b ou EcE_c : on représente les états électroniques de l’atome sur la Fig. 1a. On prendra l’énergie potentielle EpE_p constante dans ce qui suit, excepté dans la partie I.2.5. L’état aa est l’état fondamental, de durée de vie infinie. La durée de vie de l’état bb étant très grande devant celle de l’état cc, on la considère également comme infinie.

Un atome, initialement au repos dans le référentiel d’étude et dans l’état aa, absorbe un photon de quantité de mouvement ℏk⃗\hbar\vec{k} et d’énergie ℏω\hbar\omega (avec ω=kc\omega = kc où k=∣∣k⃗∣∣k = ||\vec{k}||), et effectue une transition vers l’état d’énergie EiE_i (i=bi = b ou i=ci = c).

(a) Diagramme de niveaux d’énergie : axe vertical fléché, niveaux Ea (avec un point noir), Eb et Ec ; écart Ea–Eb marqué 2 × 10⁻⁵ eV, écart Ea–Ec marqué 2 eV. (b) Transition à deux photons : niveaux Ea, Eb, Ec ; flèche montante orange depuis Ea (cercle pointillé) vers Ec, flèche descendante rouge de Ec vers Eb (point noir) ; ondes étiquetées (k⃗1, ω1) et (k⃗2, ω2).
Figure 1 – (a) : Niveaux d’énergie de l’atome de Rubidium 87 ; (b) : Principe de la transition à deux photons

4.a Usuellement, on néglige la variation de quantité de mouvement et la variation d’énergie cinétique lors de la transition (aussi appelée ”énergie de recul”). Quelle est alors l’énergie du photon nécessaire pour effectuer la transition ?

4.b On prend en compte l’“effet de recul”. Donner les relations de conservation de l’énergie et de la quantité de mouvement lors du processus d’absorption du photon, en notant v⃗r\vec{v}_r la variation de vitesse de l’atome (appelée “vitesse de recul”).

4.c À l’aide des deux relations précédentes, se ramener à une équation sur k=∣k⃗∣k = |\vec{k}| et montrer que k≃(Ei−Ea)/(ℏc)k \simeq (E_i - E_a)/(\hbar c). En déduire la variation de vitesse vr=∣v⃗r∣v_r = |\vec{v}_r| subie par l’atome lors de la transition. Effectuer l’application numérique pour vrv_r pour chacune des transitions a→ba \to b et a→ca \to c.

4.d Comme nous le verrons plus loin, on tire profit de l’effet de recul en interférométrie atomique pour séparer la fonction d’onde : plus cet effet est important, mieux on sépare la fonction d’onde et meilleure est la sensibilité sur la mesure. Quels sont l’avantage et l’inconvénient associés à chaque transition (a→ba \to b ou a→ca \to c) pour transférer de la quantité de mouvement à un atome ?

Le “meilleur des deux mondes” peut être obtenu en effectuant des transitions à deux photons (ou transitions “Raman”). Le principe de telles transitions est présenté sur la Figure 1b : l’atome, initialement dans l’état aa, est plongé deux faisceaux lasers se propageant en sens opposés. L’atome absorbe un photon du premier laser, et émet un photon par émission stimulée par le deuxième laser. On note k⃗1\vec{k}_1 et k⃗2\vec{k}_2 les vecteurs d’ondes respectifs des deux lasers.

5. On fait l’approximation k≃∣k⃗1∣≃∣k⃗2∣k \simeq |\vec{k}_1| \simeq |\vec{k}_2| et on note alors k⃗1=k⃗\vec{k}_1 = \vec{k} et k⃗2=−k⃗\vec{k}_2 = -\vec{k} avec k⃗=ke⃗z\vec{k} = k\vec{e}_z. Justifier que la variation de vitesse de l’atome est alors 2v⃗r2\vec{v}_r, où l’on précisera à quelle transition est associée la vitesse de recul v⃗r\vec{v}_r. Donner la valeur numérique de kk, valeur que l’on retiendra pour la suite du problème.

Решение

Внимание: Непълно решение

Le sujet est archivé sans corrigé officiel.

Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

⋆ ⋆ ⋆

¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf