X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 4. I.2.2 Séparatrices atomiques

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

On s’intéresse dans cette partie à un élément clé des interféromètres atomiques, les séparatrices atomiques. Elles permettent de séparer spatialement la fonction d’onde d’un atome en le plaçant dans une superposition de deux états d’énergie distincts.

Soit Ψ(r⃗,t)\Psi(\vec{r}, t) la fonction d’onde associée à un atome. Dans l’état électronique aa, l’atome a une impulsion mv⃗0m\vec{v}_0 et une énergie E1=Ea+Ep,a+Ec,aE_1 = E_a + E_{p,a} + E_{c,a} ; dans l’état électronique bb, l’atome a une impulsion m(v⃗0+2v⃗r)m(\vec{v}_0 + 2\vec{v}_r) et une énergie E2=Eb+Ep,b+Ec,bE_2 = E_b + E_{p,b} + E_{c,b}, avec Ec,iE_{c,i} et Ep,iE_{p,i} les énergies cinétique et potentielle associées à chaque état i=ai = a ou i=bi = b.

Un état stationnaire est associé à chaque état d’énergie. On note a1(t)a_1(t) et a2(t)a_2(t) les parties temporelles associées à ces états stationnaires. On note φ1(r⃗)\varphi_1(\vec{r}) et φ2(r⃗)\varphi_2(\vec{r}) les fonctions d’ondes spatiales associées à ces états stationnaires, dont on donne la forme explicite : φ1(r⃗)=exp⁡(jmℏv⃗0⋅r⃗)\varphi_1(\vec{r}) = \exp\left(j\frac{m}{\hbar}\vec{v}_0 \cdot \vec{r}\right) et φ2(r⃗)=exp⁡(jmℏ(v⃗0+2v⃗r)⋅r⃗)\varphi_2(\vec{r}) = \exp\left(j\frac{m}{\hbar}(\vec{v}_0 + 2\vec{v}_r) \cdot \vec{r}\right), avec j2=−1j^2 = -1.

On peut ainsi écrire :

Ψ(r⃗,t)=a1(t)exp⁡(jmℏv⃗0⋅r⃗)+a2(t)exp⁡(jmℏ(v⃗0+2v⃗r)⋅r⃗)(7)\Psi(\vec{r}, t) = a_1(t) \exp\left(j\frac{m}{\hbar}\vec{v}_0 \cdot \vec{r}\right) + a_2(t) \exp\left(j\frac{m}{\hbar}(\vec{v}_0 + 2\vec{v}_r) \cdot \vec{r}\right) \qquad (7)
Diagramme z en fonction de t : une bande verticale rouge marquée π/2 en t = 0. Une trajectoire bleu clair (Ea) de vitesse v⃗0 arrive au point noir sur la bande ; elle se sépare en une trajectoire bleu clair transmise (t_a, v⃗0) et une trajectoire bleu foncé plus pentue (Eb, r_a, v⃗0+2v⃗r). Légende : Eb bleu foncé, Ea bleu clair.
Figure 2 – Trajectoire d’un atome, de vitesse initiale v⃗0\vec{v}_0, soumis à t=0t = 0 à une impulsion π/2\pi/2, qui sert de “séparatrice atomique”. Les coefficients rar_a et tat_a sont les coefficients de réflexion et de transmission de l’amplitude de probabilité associée à l’atome.

6.a Donner les équations différentielles vérifiées par les coefficients ai(t)a_i(t) (i=1,2i = 1, 2).

6.b Résoudre ces équations, et mettre les solutions sous la forme :

a⃗(t)=A(t)a⃗(0)(8)\vec{a}(t) = A(t)\vec{a}(0) \qquad (8)

avec a⃗(t)=(a1(t),a2(t))\vec{a}(t) = (a_1(t), a_2(t)) et A(t)A(t) une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (que l’on explicitera) dépendent du temps.

6.c Initialement on a a⃗(t=0)=(1,0)\vec{a}(t = 0) = (1, 0), autrement dit l’atome est dans l’état stationnaire d’énergie E1E_1. Justifier que l’atome demeure dans cet état d’énergie E1E_1 à tous les instants ultérieurs.

Le principe des séparatrices atomiques consiste à placer un atome, initialement dans l’état 1, dans une superposition des états 1 et 2. Cela peut être effectué en utilisant les transitions à deux photons vues précédemment, qui peuvent être effectuées en utilisant deux faisceaux laser. L’atome est plongé dans le champ des deux faisceaux laser pendant une durée finie : on note τ\tau la durée des impulsions laser.

Si un atome est soumis à ces impulsions laser à l’instant t=0t = 0, et pendant une durée τ\tau, la valeur de a⃗(t)\vec{a}(t) à l’instant t=τt = \tau est donnée par :

a⃗(τ)=A(τ)R(Ωτ)A−1(0)a⃗(0)(9)\vec{a}(\tau) = A(\tau)R(\Omega\tau)A^{-1}(0)\vec{a}(0) \qquad (9)

où A−1(0)A^{-1}(0) est la matrice inverse de la matrice A(0)A(0), et où la matrice R(Ωτ)R(\Omega\tau) est donnée par :

R(Ωt)=(cos⁡(Ωt/2)−jsin⁡(Ωt/2)ejϕlaser−jsin⁡(Ωt/2)e−jϕlasercos⁡(Ωt/2))(10)R(\Omega t) = \begin{pmatrix} \cos(\Omega t/2) & -j\sin(\Omega t/2)e^{j\phi_{\mathrm{laser}}} \\ -j\sin(\Omega t/2)e^{-j\phi_{\mathrm{laser}}} & \cos(\Omega t/2) \end{pmatrix} \qquad (10)

avec ϕlaser\phi_{\mathrm{laser}} une constante associée aux déphasages entre les deux faisceaux laser, et Ω\Omega une grandeur homogène à une pulsation qui dépend de l’intensité des faisceaux laser et du type d’atome étudié.

7. Exprimer R(Ωτ)R(\Omega\tau) pour une “impulsion π/2\pi/2”, c’est-à-dire à une impulsion laser de durée τ\tau avec Ωτ=π/2\Omega\tau = \pi/2. Donner également l’expression de cette matrice pour une “impulsion π\pi” (qui correspond à Ωτ=π\Omega\tau = \pi).

8.a Initialement on a a⃗(t=0)=(1,0)\vec{a}(t = 0) = (1, 0). À t=0t = 0 on soumet l’atome à une “impulsion π/2\pi/2” de durée τ\tau. Exprimer la fonction d’onde Ψ(r⃗,t)\Psi(\vec{r}, t) à l’instant t=τt = \tau, et donner l’évolution de la fonction d’onde pour t>τt > \tau. Montrer ainsi qu’une telle impulsion présente une analogie optique avec une lame séparatrice de coefficient de réflexion en amplitude ra=−(j/2)exp⁡(−jϕlaser)r_a = -(j/\sqrt{2})\exp(-j\phi_{\mathrm{laser}}) et de coefficient de transmission en amplitude ta=1/2t_a = 1/\sqrt{2}, comme suggéré sur la Fig. 2 où la trajectoire d’un atome est représentée. C’est pourquoi une impulsion π/2\pi/2 est appelée “séparatrice atomique”.

8.b Toujours dans le cas d’une “impulsion π/2\pi/2”, exprimer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude dans le cas où on a initialement a⃗(t=0)=(0,1)\vec{a}(t = 0) = (0, 1).

8.c Quel est l’élément optique analogue à une “impulsion π\pi” ?

L’interférométrie atomique consiste à utiliser des impulsions π/2\pi/2 et π\pi pour séparer et recombiner la fonction d’onde.

Решение

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

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¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf