X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 6. I.2.4 Principe de la mesure de m

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

L’interféromètre atomique de Ramsey-Bordé consiste en une série de quatre impulsions π/2\pi/2 effectuées à des intervalles de temps réguliers TT. Pour les deux premières impulsions, l’effet de recul est vers le haut (on transfère +2v⃗r+2\vec{v}_r à une fraction de la fonction d’onde), pour les deux dernières l’effet de recul est vers le bas (on transfère −2v⃗r-2\vec{v}_r à une fraction de la fonction d’onde). Chacune de ces impulsions joue le rôle de séparatrice atomique, comme vu précédemment. On représente sur la Fig. 4 la trajectoire d’un atome de Rubidium, de vitesse initiale v⃗0\vec{v}_0 et d’état d’énergie électronique initial aa, lors de leur traversée de l’interféromètre. On note Ψ(r⃗,t)=Ψ0exp⁡(j(mv⃗0⋅r⃗−E1t)/ℏ)\Psi(\vec{r}, t) = \Psi_0 \exp(j(m\vec{v}_0 \cdot \vec{r} - E_1 t)/\hbar) la fonction d’onde initialement associée à l’atome (t<0t < 0), avec E1E_1 est l’énergie totale de l’atome et Ψ0\Psi_0 est une constante complexe. Les trajectoires que nous considérons sont représentées en trait plein sur la figure, on ne s’intéressera pas aux trajectoires représentées en trait pointillé.

Une cinquième impulsion (pour tt compris entre TT et 2T2T), appelée “impulsion Bloch”, a lieu à l’instant t′t' (avec T<t′<2TT < t' < 2T) et permet d’effectuer NN transitions à deux photons au cours desquelles l’état final reste le même que l’état initial (état bb pour les trajectoires considérées ici). On retiendra que cette impulsion permet ainsi d’accroître la vitesse de l’atome de Δv⃗=2Nv⃗r\Delta\vec{v} = 2N\vec{v}_r, où NN est un nombre entier.

Comme indiqué sur la Fig. 4, on s’intéresse aux faisceaux suivant les deux trajets ABCD et AB’C’D, et recombinés en sortie de l’interféromètre. On note ΦI\Phi_I, respectivement ΦII\Phi_{II}, la phase cumulée par la fonction d’onde lors du trajet ABCD, respectivement AB’C’D. On mesure en sortie de l’interféromètre la probabilité de détection d’un atome. On note ϕlaser(t)\phi_{\mathrm{laser}}(t) la phase des impulsions lasers π/2\pi/2.

Diagramme z en fonction de t avec des bandes rouges verticales en t = 0, T, 2T et 3T et une bande orange entre T et 2T. Depuis A (t = 0), deux trajets : A→B (v⃗0+2v⃗r, Eb) puis B→C (v⃗0+2v⃗r, puis v⃗0+2v⃗r+Δv⃗) puis C→D (v⃗0+Δv⃗, Ea) ; et A→B’ (v⃗0, Ea) puis B’→C’ (v⃗0+2v⃗r, puis v⃗0+2v⃗r+Δv⃗, Eb) puis C’→D (v⃗0+2v⃗r+Δv⃗). Sorties non considérées en pointillé ; en D la trajectoire va vers un « Détecteur ». Légende : Eb bleu foncé, Ea bleu clair.
Figure 4 – Interféromètre atomique de Ramsey-Bordé. Les quatre impulsions lasers Raman (à t=0,T,2Tt = 0, T, 2T et 3T3T) servent de séparatrice atomique. Une cinquième impulsion (T<t<2TT < t < 2T), en orange, peut être utilisée pour communiquer une vitesse Δv⃗=Δve⃗z\Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z à l’atome entre t=Tt = T et t=2Tt = 2T (sur le schéma on a Δv>0\Delta v > 0).
Graphique de P (de 0,30 à 0,55) en fonction de δlaser + 15907000 (Hz), de −460 à −360 : points expérimentaux bleus et ajustement sinusoïdal orange, maxima vers −460, −411 et −362 Hz, minima vers −436 et −386 Hz ; trait vertical gris en pointillé au maximum central vers −411 Hz.
Figure 5 – Interférogramme expérimental.

10. Exprimer l’amplitude de probabilité de présence d’un atome de Rubidium en sortie de l’interféromètre en fonction de Ψ0\Psi_0, ΦI\Phi_I, ΦII\Phi_{II} et des phases lasers ϕlaser(t)\phi_{\mathrm{laser}}(t) à t=0,T,2Tt = 0, T, 2T ou 3T3T. En déduire la probabilité PP de détection, et montrer qu’elle est donnée par :

P=18∣Ψ0∣2(1+γcos⁡(ΔΦ+Δϕlaser))(11)P = \frac{1}{8}|\Psi_0|^2 \left(1 + \gamma\cos(\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}})\right) \qquad (11)

avec γ=1\gamma = 1, ΔΦ=ΦII−ΦI\Delta\Phi = \Phi_{II} - \Phi_I et Δϕlaser=−ϕlaser(0)+ϕlaser(T)+ϕlaser(2T)−ϕlaser(3T)\Delta\phi_{\mathrm{laser}} = -\phi_{\mathrm{laser}}(0) + \phi_{\mathrm{laser}}(T) + \phi_{\mathrm{laser}}(2T) - \phi_{\mathrm{laser}}(3T).

Il est possible de faire varier Δϕlaser\Delta\phi_{\mathrm{laser}} en changeant la fréquence des lasers. On note Δϕlaser=2πδlaserT\Delta\phi_{\mathrm{laser}} = 2\pi\delta_{\mathrm{laser}}T avec δlaser\delta_{\mathrm{laser}} un paramètre pouvant être modifié expérimentalement. On présente en Fig. 5 un interférogramme expérimental typiquement obtenu en faisant varier δlaser\delta_{\mathrm{laser}}. L’Éq. (11) est valable pour décrire cet interférogramme expérimental, en prenant cependant γ<1\gamma < 1. La position de la frange centrale (qui correspond à ΔΦ+Δϕlaser=0\Delta\Phi + \Delta\phi_{\mathrm{laser}} = 0) est repérée par le trait en pointillé gris. La valeur de δlaser\delta_{\mathrm{laser}} associée est δlaser∗=−15907410,770±0,047 Hz\delta^*_{\mathrm{laser}} = -15907410{,}770 \pm 0{,}047\ \mathrm{Hz}.

11. À partir de l’interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la valeur de TT choisie dans l’expérience.

On cherche à relier la position de la frange centrale à la variation de vitesse Δv⃗\Delta\vec{v} acquise par un atome.

La phase cumulée par la fonction d’onde le long de la trajectoire C\mathcal{C} d’un atome est :

ΦC=1ℏ(∫Cmv⃗⋅dr⃗−∫CEdt)=1ℏ∫C(mv2−E)dt(12)\Phi_{\mathcal{C}} = \frac{1}{\hbar}\left(\int_{\mathcal{C}} m\vec{v} \cdot \mathrm{d}\vec{r} - \int_{\mathcal{C}} E\mathrm{d}t\right) = \frac{1}{\hbar}\int_{\mathcal{C}} (mv^2 - E)\mathrm{d}t \qquad (12)

avec v=∣v⃗∣v = |\vec{v}|.

12.a Justifier que la phase cumulée due aux énergies potentielle EpE_p et électronique EiE_i (i=a,bi = a, b) est la même sur chacun des trajets ABCD et AB’C’D.

12.b En déduire que :

ΔΦ=mℏ∫03T(v⃗II(t)−v⃗I(t))(v⃗I(t)+v⃗II(t)2)dt(13)\Delta\Phi = \frac{m}{\hbar}\int_0^{3T} (\vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t)) \left(\frac{\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)}{2}\right) \mathrm{d}t \qquad (13)

où v⃗I(t)\vec{v}_I(t) et v⃗II(t)\vec{v}_{II}(t) sont les vitesses instantanées respectives des atomes sur les trajets ABCD et AB’C’D.

12.c En exprimant dans un premier temps v⃗II(t)−v⃗I(t)\vec{v}_{II}(t) - \vec{v}_I(t) et [v⃗I(t)+v⃗II(t)]/2[\vec{v}_I(t) + \vec{v}_{II}(t)]/2 sur les intervalles [0,T][0, T], [T,2T][T, 2T], [2T,3T][2T, 3T], montrer que :

ΔΦ=2Tk⃗⋅Δv⃗(14)\Delta\Phi = 2T\vec{k} \cdot \Delta\vec{v} \qquad (14)

On se souviendra à cet effet de la relation entre v⃗r\vec{v}_r et k⃗\vec{k} (question 4), et on rappelle que k⃗=ke⃗z\vec{k} = k\vec{e}_z. L’interféromètre est donc sensible à la variation de vitesse selon la direction de propagation des lasers (axe (Oz)(\mathrm{O}z) sur le schéma).

13.a En déduire δlaser∗\delta^*_{\mathrm{laser}}, la valeur de δlaser\delta_{\mathrm{laser}} associée la frange centrale. L’exprimer en fonction de kk, mm et NN, et d’autres constantes fondamentales éventuelles.

13.b Déduire, à partir de la valeur de δlaser∗\delta^*_{\mathrm{laser}} associée à l’interférogramme de la Fig. 5, la valeur de NN choisie lors de la mesure.

13.c La fréquence ω/2π=kc/2π\omega/2\pi = kc/2\pi est mesurée avec une incertitude de 1 kHz1\ \mathrm{kHz}. Justifier que la mesure de δlaser∗\delta^*_{\mathrm{laser}} permet de mesurer mm, et que l’incertitude relative sur mm est environ égale à l’incertitude relative sur δlaser∗\delta^*_{\mathrm{laser}}, soit u(m)/m≃u(δlaser∗)/δlaser∗u(m)/m \simeq u(\delta^*_{\mathrm{laser}})/\delta^*_{\mathrm{laser}}.

13.d Un interférogramme expérimental comme celui de la Fig. 5 est typiquement obtenu en une minute. Il est possible de faire des mesures les unes à la suite des autres. Pendant combien de temps doit-on répéter l’expérience pour atteindre la sensibilité requise sur la mesure de mm (donnée en Éq. (6)) ?

Решение

Внимание: Непълно решение

Le sujet est archivé sans corrigé officiel.

Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

⋆ ⋆ ⋆

¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf