X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 7. I.2.5 Effet systématique dû à la gravité

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

Dans cette section, l’énergie potentielle d’un atome n’est plus considérée comme constante au cours de la trajectoire. On cherche à estimer l’effet de la gravité sur la mesure.

Il est essentiel, dans une mesure d’une telle exactitude, d’écarter toute source d’erreur possible. L’Éq. (14) montre que l’interféromètre est sensible à la variation de vitesse des atomes. L’accélération de la pesanteur induit une variation de vitesse au cours de la propagation des atomes, qui résulte en un décalage supplémentaire des franges. Nous allons estimer cet effet. L’accélération de la pesanteur g⃗\vec{g} est portée par l’axe (Oz)(\mathrm{O}z) et est dirigée dans le sens des zz décroissants.

14.a L’énergie potentielle d’un atome n’est pas constante au cours de la trajectoire. Montrer néanmoins que l’Éq. (14) reste valable lorsque le champ de pesanteur est uniforme.

14.b Exprimer les vitesses v⃗I(t)\vec{v}_I(t) et v⃗II(t)\vec{v}_{II}(t) le long des trajets ABCD et AB’C’D en prenant cette fois en compte l’effet de la pesanteur. En déduire le déphasage ΔΦ′\Delta\Phi', et l’exprimer sous la forme

ΔΦ′=ΔΦ+ΔΦg(15)\Delta\Phi' = \Delta\Phi + \Delta\Phi_g \qquad (15)

où ΔΦ=2Tk⃗⋅Δv⃗\Delta\Phi = 2T\vec{k} \cdot \Delta\vec{v} et où ΔΦg\Delta\Phi_g est un terme à expliciter. On prend Δv=600vr\Delta v = 600v_r. Calculer ΔΦg/ΔΦ\Delta\Phi_g/\Delta\Phi, l’effet relatif du décalage des franges dû uniquement à la pesanteur et dû uniquement à la variation de vitesse Δv\Delta v. L’effet de la pesanteur est-il négligeable au vu de la sensibilité requise sur la mesure ?

14.c On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (+Δv⃗=Δve⃗z+\Delta\vec{v} = \Delta v\vec{e}_z), puis une autre en les accélérant vers le bas (Δv⃗=−Δve⃗z\Delta\vec{v} = -\Delta v\vec{e}_z). Expliquer comment ces deux mesures permettent de compenser le décalage des franges dû à la gravité.

On constate qu’il est important de compenser les erreurs associées à une mesure aussi précise. Dans la partie suivante, nous nous intéressons à la source principale d’erreur de la mesure de mm par interférométrie atomique, qui vient de la courbure du front d’onde des lasers utilisés pour modifier la vitesse des atomes.

Решение

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Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

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¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf