X-ENS 2023, Приемен изпит, физика и химия — Задача 8. II.1 Désalignement du faisceau laser

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI — ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2023 — FILIERE PC - Epreuve n° 5 — PHYSIQUE B (XEULS) — Mesure de la constante de structure fine · 19 април 2023 г.

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

  • célérité de la lumière dans le vide : c≃3×108 m⋅s−1c \simeq 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m \cdot s^{-1}}
  • permittivité diélectrique du vide : ϵ0≃9×10−12 F⋅m−1\epsilon_0 \simeq 9 \times 10^{-12}\ \mathrm{F \cdot m^{-1}}
  • charge élémentaire : e≃1,5×10−19 Ce \simeq 1{,}5 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}
  • constante de Planck : h≃7×10−34 J⋅sh \simeq 7 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Planck réduite : ℏ=h/2π≃1×10−34 J⋅s\hbar = h/2\pi \simeq 1 \times 10^{-34}\ \mathrm{J \cdot s}
  • constante de Boltzmann : kB≃1,5×10−23 J⋅K−1k_B \simeq 1{,}5 \times 10^{-23}\ \mathrm{J \cdot K^{-1}}
  • masse atomique d’un atome de Rubidium 87 : m≃1,5×10−25 kgm \simeq 1{,}5 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}
Увод

Ce sujet propose de s’intéresser à la mesure de la constante de structure fine α\alpha, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XXe^{\mathrm{e}} siècle, disait qu’elle est “l’un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l’homme puisse le comprendre.”

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l’interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α=e24πϵ0ℏc(1)\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \qquad (1)

Une valeur approchée de α\alpha est 1/1371/137. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α=137,035999206±11×10−9(2)1/\alpha = 137{,}035999206 \pm 11 \times 10^{-9} \qquad (2)

soit une incertitude relative de l’ordre de 8×10−118 \times 10^{-11}. Ce sujet a pour but d’expliquer comment la constante de structure fine α\alpha a pu être mesurée avec une telle précision.

Условие

II Effet systématique sur la mesure de la masse mm d’un atome de Rubidium 87 lié à la courbure du front d’onde des lasers

On résume le principe de la mesure de la masse mm d’un atome de Rubidium, détaillée dans la partie précédente. On transfère une impulsion p⃗\vec{p} à un atome de Rubidium, par absorption du photon d’un laser par exemple, et on mesure avec une grande précision Δvz\Delta v_z, sa variation de vitesse selon la direction (Oz)(\mathrm{O}z) de vecteur directeur e⃗z\vec{e}_z. La masse mm d’un atome de Rubidium est reliée à Δvz\Delta v_z et p⃗\vec{p} par la relation m=pz/Δvzm = p_z/\Delta v_z avec pz=p⃗⋅e⃗zp_z = \vec{p} \cdot \vec{e}_z. L’interférométrie atomique, étudiée dans la partie précédente, permet de mesurer de manière très précise Δvz\Delta v_z. La connaissance de pzp_z permet alors de déterminer mm.

Précédemment on a considéré le cas idéal où le laser est une onde plane, de longueur d’onde λ\lambda, se propageant selon la direction (Oz)(\mathrm{O}z). L’impulsion p⃗ideal\vec{p}_{\mathrm{ideal}} du photon dans ce cas est donnée par p⃗ideal=ℏke⃗z\vec{p}_{\mathrm{ideal}} = \hbar k\vec{e}_z, et pz,ideal=ℏkp_{z,\mathrm{ideal}} = \hbar k, avec k=2π/λk = 2\pi/\lambda. Ainsi la masse, dans ce cas idéal, est simplement donnée par mideal=ℏk/Δvzm_{\mathrm{ideal}} = \hbar k/\Delta v_z.

Dans le cas général pz=ℏk(1+δkrel)p_z = \hbar k(1 + \delta k_{\mathrm{rel}}) avec δkrel≠0\delta k_{\mathrm{rel}} \neq 0. L’erreur relative commise sur l’estimation de la masse par rapport au cas idéal est mm : (m−mideal)/mideal=δkrel(m - m_{\mathrm{ideal}})/m_{\mathrm{ideal}} = \delta k_{\mathrm{rel}}. Il est donc nécessaire de connaitre avec exactitude δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} afin de corriger cette erreur. Dans cette partie on s’intéresse à la valeur de δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} en considérant plusieurs cas où le faisceau laser s’écarte du cas idéal d’une onde plane se propageant selon (Oz)(\mathrm{O}z)

15. On considère une onde plane de vecteur d’onde k⃗\vec{k} formant un angle θ\theta avec l’axe (Oz)(Oz). Exprimer δkrel\delta k_{\mathrm{rel}} en fonction de θ\theta. Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de ∣θ∣|\theta| pour que ∣δkrel∣|\delta k_{\mathrm{rel}}| soit inférieur à 10−1210^{-12}.

Ainsi, un désalignement du faisceau laser par rapport à l’axe (Oz)(\mathrm{O}z) peut induire une erreur sur la mesure. Mais le modèle de l’onde plane reste un modèle irréaliste pour décrire le faisceau laser. On s’intéresse dans les partie suivante à la valeur de pzp_z associée à d’autres types de fronts d’onde.

Решение

Внимание: Непълно решение

Le sujet est archivé sans corrigé officiel.

Pour aller plus loin

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l’univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n’inclut pas l’interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la “matière noire”, ni l’“énergie sombre”, ni les différences de proportion observées dans l’Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d’écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de α\alpha a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l’atome de Rubidium 87.

La valeur de 1/α1/\alpha reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d’une autre mesure : la valeur du “moment magnétique anomal” de l’électron¹, grandeur sans dimension notée aea_e. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à α\alpha par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

ae=∑i=0+∞Ciαi+ae,0(22)a_e = \sum_{i=0}^{+\infty} C_i \alpha^i + a_{e,0} \qquad (22)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme ae,0a_{e,0}, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de aea_e et l’inversion de l’équation précédente a pu conduire à la valeur de α\alpha donnée par l’Éq. (3).

L’accord entre ces deux mesures de α\alpha est à l’heure actuelle l’un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

⋆ ⋆ ⋆

¹ Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d’un électron est appelé “facteur de Landé”, noté glg_l. L’équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin 1/2, prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l’électron. Expérimentalement, le facteur de Landé gl,expg_{l,\mathrm{exp}} mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,00232{,}0023). Le moment magnétique anomal de l’électron est défini comme : ae=(gl,exp−2)/2a_e = (g_{l,\mathrm{exp}} - 2)/2.

Оригинал в Архива: PC_2023.pdf