X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 2. Une particule soumise à une force $\alpha/x^3 - k\,x$

ECOLES NORMALES SUPERIEURES · CONCOURS D’ADMISSION 2024 · FILIERE PC - Epreuve n° 7 · PHYSIQUE C (U) · 18 април 2024 г.

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Consignes

JEUDI 18 AVRIL 2024 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Début de l’épreuve

Ce sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Consignes et indications générales
  • On néglige la gravité dans tout le sujet.
  • Aucune question ne fait appel à la mécanique quantique.
  • La justification des réponses et des étapes de raisonnement est prise en compte dans la notation.
  • Pour les questions ouvertes appelant une justification ou une discussion, la longueur de la réponse attendue est entre quelques mots et quelques lignes (mais les réponses plus longues ne sont pas sanctionnées).
  • Il est parfois demandé de vérifier que l’on retrouve une expression déjà obtenue dans une question précédente, ce qui peut aider à détecter et corriger d’éventuelles erreurs.
Notations et conventions
  • (Oxyz)(Oxyz) est un repère orthonormé, fixe dans le référentiel du laboratoire considéré comme un référentiel galiléen. Les vecteurs unitaires associés sont notés (u⃗x,u⃗y,u⃗z)(\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).
  • Élément de volume : dτ=dx dy dzd\tau = dx\,dy\,dz.
  • Norme d’un vecteur : A=∥A⃗∥A = \|\vec{A}\|.
  • f˙\dot{f} désigne la dérivée temporelle dfdt\dfrac{df}{dt} d’une fonction f(t)f(t), et f¨=d2fdt2\ddot{f} = \dfrac{d^2f}{dt^2}.
  • Pour une fonction f(r⃗)f(\vec{r}) qui ne dépend pas de la direction de r⃗\vec{r}, on pourra noter f(r)f(r) au lieu de f(r⃗)f(\vec{r}).
  • « Positif » signifie « supérieur ou égal à zéro ».
Formulaire

En coordonnées sphériques :

grad→ f=∂f∂r u⃗r+1r ∂f∂θ u⃗θ+1r sin⁡θ ∂f∂φ u⃗φ,div A⃗=1r2 ∂∂r(r2Ar)+1r sin⁡θ ∂∂θ(sin⁡θ  Aθ)+1r sin⁡θ ∂Aφ∂φ.\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f &= \frac{\partial f}{\partial r}\,\vec{u}_r + \frac{1}{r}\,\frac{\partial f}{\partial \theta}\,\vec{u}_\theta + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial f}{\partial \varphi}\,\vec{u}_\varphi ,\\ \mathrm{div}\,\vec{A} &= \frac{1}{r^2}\,\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 A_r\right) + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\; A_\theta\right) + \frac{1}{r\,\sin\theta}\,\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} . \end{aligned}
div(f A⃗)=grad→ f⋅A⃗+f div A⃗\mathrm{div}\left(f\,\vec{A}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\, f \cdot \vec{A} + f\,\mathrm{div}\,\vec{A}
Données numériques

Masse molaire du lithium 6 : M(6Li)=6,02 g⋅mol−1M\left({}^{6}\mathrm{Li}\right) = 6{,}02\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}

Nombre d’Avogadro : NA=6,02×1023 mol−1\mathscr{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}

k=1,02×10−18 kg⋅s−2k = 1{,}02 \times 10^{-18}\ \mathrm{kg\cdot s^{-2}}

σ=60 μm\sigma = 60\ \mu\mathrm{m}

Увод

On appelle « système de particules en interaction » un système composé de NN particules interagissant entre elles. Il peut s’agir par exemple de molécules dans un gaz ou un liquide, d’électrons et d’ions dans un plasma, ou encore d’étoiles dans une galaxie.

D’ordinaire, ces systèmes ont les caractéristiques suivantes. Dès que N>2N > 2, il est impossible d’obtenir des résultats exacts sur l’évolution en fonction du temps des positions des NN particules par des calculs analytiques, c’est-à-dire sans utiliser de simulations numériques. Cependant, lorsque NN est grand, le comportement du système devient plus simple à décrire. Au bout d’un certain temps, le système atteint un état d’équilibre, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides. Ceci est vrai même si le système n’échange pas de chaleur avec son environnement. Pour décrire cet état d’équilibre aux échelles macroscopiques ou mésoscopiques, il suffit de connaître quelques fonctions qui relient entre elles des grandeurs thermodynamiques telles que la pression, la température ou l’énergie interne. La détermination de ces fonctions nécessite de construire des tableaux de données à partir de mesures expérimentales ou de simulations numériques (à la différence d’un gaz parfait, pour lequel ces fonctions ont des expressions connues). De plus, l’évolution d’un fluide en fonction du temps peut être décrite par la mécanique des fluides, qui fait intervenir quelques grandeurs supplémentaires telles que la viscosité dynamique. Ces grandeurs (appelées coefficients de transport) sont des fonctions des grandeurs thermodynamiques, et la détermination de ces fonctions nécessite là encore de construire des tableaux de données à partir d’expériences ou de simulations numériques.

Certains systèmes particuliers de particules en interaction possèdent des propriétés qui font exception à une ou plusieurs des caractéristiques énoncées dans le paragraphe précédent : on qualifiera de telles propriétés de propriétés extraordinaires.

Nous serons amenés à rencontrer de telles propriétés extraordinaires dans les parties 3 et 4. Alors que le système étudié en partie 3 n’a pas à ce jour de réalisation expérimentale, la partie 4 est reliée à des expériences actuelles avec des gaz froids. La partie 1 concerne la réalisation d’un piège optique pouvant servir dans ces expériences. Les parties suivantes sont indépendantes de la partie 1, à l’exception de deux questions où un lien avec la partie 1 sera indiqué dans l’énoncé. La partie 2 concerne un problème à une particule dont l’étude est utile pour les parties 3 et 4.

Условие

Dans cette partie, on considère une particule de masse mm se déplaçant à une dimension le long de la demi-droite (Ox)(Ox), de sorte que son vecteur position est r⃗=x u⃗x\vec{r} = x\,\vec{u}_x avec x>0x > 0.

La particule est soumise à une force F⃗=Fx u⃗x\vec{F} = F_x\,\vec{u}_x avec Fx=αx3−k xF_x = \dfrac{\alpha}{x^3} - k\,x, où α\alpha et kk sont des constantes strictement positives.

7) Montrer que la force F⃗\vec{F} est conservative, et que l’énergie potentielle correspondante s’écrit

U(x)=Ax2+B x2+CU(x) = \frac{A}{x^2} + B\,x^2 + C

où CC est une constante arbitraire et où l’on exprimera AA et BB en fonction de α\alpha et kk.

Dans la suite on prend C=0C = 0.

8) On pose g=x2g = x^2, et on note EE l’énergie mécanique de la particule. Exprimer m g¨m\,\ddot{g} en fonction de EE, gg et kk.

9) On pose ω=km\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}, g0=g(t=0)g_0 = g(t = 0) et h0=g˙(t=0)h_0 = \dot{g}(t = 0). En résolvant l’équation différentielle trouvée à la question précédente, exprimer g(t)g(t) en fonction de tt, g0g_0, h0h_0, ω\omega et Ek\dfrac{E}{k}.

Dans la suite, la particule est lâchée à t=0t = 0 en x=x0x = x_0 avec une vitesse nulle.

10) Exprimer x(t)x(t) en fonction de tt, ω\omega, αk\dfrac{\alpha}{k} et x0x_0. Exprimer la période de x(t)x(t) en fonction de ω\omega.

11) Commenter brièvement le fait que la période est indépendante de l’amplitude.

12) On note xmin⁡x_{\min} et xmax⁡x_{\max} les valeurs minimale et maximale de la fonction x(t)x(t). À partir de l’expression de x(t)x(t) obtenue à la question 10, tracer l’allure de x(t)2x(t)^2 en fonction de tt, et exprimer xmin⁡x_{\min} et xmax⁡x_{\max} en fonction de x0x_0 et αk\dfrac{\alpha}{k}. On distinguera entre les cas x0>xcx_0 > x_c et x0<xcx_0 < x_c, où xcx_c est une grandeur que l’on exprimera en fonction de αk\dfrac{\alpha}{k}.

13) Tracer l’allure de U(x)U(x). Par une approche énergétique, vérifier la validité des expressions de xcx_c, xmin⁡x_{\min} et xmax⁡x_{\max} obtenues à la question précédente.

Решение

Внимание: Непълно решение

В архива няма официално решение на тази задача.

Оригинал в Архива: PC_2024_ulm.pdf