X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 3. $N$ particules interagissant par une force en $1/r^3$

3.1 Potentiel extérieur quelconque

Dans cette sous-partie, on ne fait aucune hypothèse concernant la forme du potentiel extérieur $U_{\mathrm{ext}}(\vec{r})$.

14) Écrire l’expression reliant $\vec{F}_{\mathrm{ext},i}$ à la fonction $U_{\mathrm{ext}}$.

15) Exprimer $\vec{F}_{j\to i}$ en fonction de $\vec{r}_i$, $\vec{r}_j$, $r_{ij}$ et $\alpha$.

On pose

où $r_i^2 = \|\vec{r}_i\|^2$.

16) Exprimer $m\,\ddot{G}$ en fonction de $E_{\mathrm{cin}} + E_{\mathrm{int}}$ et de $\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\vec{r}_i\cdot\vec{F}_{\mathrm{ext},i}$.

3.2 Potentiel extérieur harmonique

Dans cette sous-partie, on considère le cas d’un potentiel extérieur de la forme $U_{\mathrm{ext}}(\vec{r}) = \dfrac{1}{2}\,k\,r^2$ avec $k$ une constante strictement positive. On pose $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$.

17) Montrer que $G(t)$ vérifie la même équation différentielle que celle obtenue pour $g(t)$ à la question 8. En déduire l’expression de $G(t)$ en fonction de $t$, $\omega$, $\dfrac{E}{k}$, et des grandeurs $G_0 = G(t = 0)$ et $H_0 = \dot{G}(t = 0)$.

18) Dans cette question on considère le cas où $\alpha = 0$. En utilisant le résultat de la question 1b, exprimer $G(t)$ en fonction de $t$, de $\omega$, des $\vec{r}_i(0)$ et des $\vec{v}_i(0)$. Vérifier que cette expression de $G(t)$ est équivalente à celle obtenue à la question 17.

19) Dans le cas où $\alpha$ est non nul, donner des raisons pour lesquelles le résultat trouvé pour $G(t)$ à la question 17 est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l’introduction du sujet.

3.3 Boîte sphérique

Dans cette sous-partie, on considère la situation suivante :

• Les $N$ particules sont enfermées dans une boîte sphérique de rayon $\ell$ centrée à l’origine. La paroi de la boîte est donc l’ensemble des points de vecteur position $\vec{r}$ tel que $r = \ell$ (la paroi étant considérée comme infiniment fine, pour simplifier la discussion).
• $\vec{F}_{\mathrm{ext},i}$ est la force exercée par la paroi de la boîte sur la particule $i$.
• Le potentiel extérieur correspondant $U_{\mathrm{ext}}$ vérifie les propriétés suivantes (on ne s’intéresse qu’à l’intérieur de la boîte, soit $r < \ell$) :

  • (a) $U_{\mathrm{ext}}(\vec{r}) = U_{\mathrm{ext}}(r)$ ne dépend pas de la direction de $\vec{r}$
  • (b) $U_{\mathrm{ext}}(r) = 0$ pour $\ell - r$ supérieur à une certaine longueur $\ell_*$ qui vérifie $\ell_* \ll \ell$
  • (c) $U_{\mathrm{ext}}(r)$ est une fonction croissante et continue de $r$
  • (d) $U_{\mathrm{ext}}(r) \underset{r\to\ell}{\longrightarrow} +\infty$.

20) Tracer l’allure de la fonction $U_{\mathrm{ext}}(r)$.

Dans la suite, on note $\langle f\rangle$ la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue d’une grandeur dépendante du temps $f(t)$, soit

Ainsi $\left\langle \ddot{G}\right\rangle$ désigne la moyenne temporelle sur une durée infiniment longue de $\ddot{G}(t)$.

21) a) Montrer que $|\dot{G}(t)| \leqslant D$ où $D$ est une quantité indépendante de $t$ dont on donnera l’expression.

b) En déduire que $\left\langle \ddot{G}\right\rangle = 0$.

Dans la suite, on considère une boîte de taille macroscopique contenant un grand nombre de particules. On admet que le système des $N$ particules peut être considéré comme un fluide à l’équilibre, et on note $P$ la pression du fluide au niveau de la paroi.

22) Justifier en quelques mots le fait que la valeur de $P$ est la même en tout point de la paroi.

23) Pourquoi peut-on considérer que $\ell_* \ll \ell$ ? On attend une réponse brève, sans calcul ni estimation d’ordre de grandeur.

24) On note $\vec{u}_i$ le vecteur unitaire $\dfrac{\vec{r}_i}{r_i}$. Exprimer $\vec{F}_{\mathrm{ext},i}$ en fonction de $\vec{u}_i$ et de $F_{\mathrm{ext},i} = \|\vec{F}_{\mathrm{ext},i}\|$.

25) On définit une surface $\Sigma$ et un volume $\mathcal{R}$ comme suit (voir figure 1) :

• $\Sigma$ est une petite portion de la paroi. La forme de $\Sigma$ est approximativement un carré de côté $\ell_\Sigma$, avec $\ell_\Sigma \ll \ell$.
• $\mathcal{R}$ est l’ensemble des points $M$ dont le vecteur position est de la forme $\overrightarrow{OM} = u\,\overrightarrow{OM'}$ avec $M' \in \Sigma$ et $u$ compris entre 0 et 1.

a) On note $\vec{F}_{\mathrm{ext},\mathcal{R}}$ la force exercée par la paroi sur le fluide contenu dans $\mathcal{R}$. Donner une expression approchée simple de $\vec{F}_{\mathrm{ext},\mathcal{R}}$ faisant apparaître $P$. Indiquer deux conditions sur $\ell_\Sigma$ (en plus de $\ell_\Sigma \ll \ell$) pour que cette expression soit valable.

b) On note $\mathscr{S}_{\mathcal{R}}$ l’ensemble des entiers $i$ appartenant à $\{1; 2; \dots; N\}$ tels que la particule $i$ est située dans la région $\mathcal{R}$. En utilisant le résultat obtenu à la question 25a, obtenir une expression approchée simple de $\displaystyle\sum_{i\in\mathscr{S}_{\mathcal{R}}} F_{\mathrm{ext},i}$ faisant apparaître $P$.

c) En déduire une expression approchée simple de $\displaystyle\sum_{i=1}^{N} F_{\mathrm{ext},i}$ faisant apparaître $P$.

26) On identifie la moyenne temporelle $\langle E_{\mathrm{cin}} + E_{\mathrm{int}}\rangle$ avec l’énergie interne $U$ du fluide. Montrer que

où $V$ est le volume de la boîte. On utilisera notamment les résultats des questions 16 et 25c.

27) Dans le cas où $\alpha = 0$, montrer directement que $U = \dfrac{3}{2}\,P\,V$ en utilisant des relations thermodynamiques connues et sans utiliser les résultats des questions précédentes.