X-ENS 2024, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 4. Propriétés macroscopiques d’un gaz unitaire

4.1 Thermodynamique du gaz homogène

Dans cette sous-partie, on s’intéresse à un gaz unitaire homogène de volume $V$. On admet que les principes de la thermodynamique sont applicables. On note $N$ le nombre d’atomes composant le gaz, $P$ la pression du gaz, $U$ son énergie interne, $S$ son entropie, $T$ sa température, $n = \dfrac{N}{V}$ sa densité particulaire, et $s = \dfrac{S}{N}$ son entropie par atome.

Dans toute la suite du sujet, on admet qu’un gaz unitaire homogène à l’équilibre vérifie les propriétés suivantes :

• l’énergie interne et la pression sont liées par la relation

• la pression $P$ est une fonction de $n$ et $s$ :

où la fonction $f_P$ ne dépend d’aucune autre grandeur thermodynamique que $n$ et $s$.

28) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire est enfermé dans une boîte de volume $V$ dont l’une des parois est un piston mobile. Les parois sont parfaitement isolantes thermiquement (autrement dit, la boîte est un calorimètre idéal). Le gaz est initialement à l’équilibre. On fait varier lentement le volume $V$ de la boîte en déplaçant la paroi mobile.

a) Montrer que $P^3\,V^5$ est constant au cours de la transformation.

b) En déduire que $f_P$ est de la forme

où la fonction $g_P$ ne dépend que de $s$ et pas de $n$.

c) Indiquer brièvement en quoi l’équation (6) peut faciliter la détermination de la fonction $f_P$ par des mesures expérimentales ou des simulations numériques.

29) a) Justifier brièvement et sans calculs que la propriété (5) est habituelle.

b) Proposer une brève justification physique intuitive du fait que la propriété (6) est inhabituelle.

c) En déduire que la propriété (4) est inhabituelle. On attend un raisonnement bref.

30) On considère la transformation suivante. Un gaz unitaire, initialement à l’équilibre, est enfermé dans une boîte de volume $V$ fixé. On apporte lentement une petite quantité de chaleur au gaz.

a) En utilisant le premier et le deuxième principe de la thermodynamique, établir une relation entre la variation d’énergie interne du gaz et sa variation d’entropie.

b) En déduire que pour un gaz unitaire homogène à l’équilibre, on a

où $g_T$ est une fonction de $s$ (indépendante de $n$) que l’on exprimera en termes de $g_P$.

Dans la suite, on admet que la fonction $g_T$ est strictement croissante et continue. La fonction $g_T$ est donc inversible. On a donc, pour un gaz unitaire homogène à l’équilibre :

où $g_s$ est la fonction réciproque de $g_T$.

4.2 Statique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire, à l’équilibre, soumis à une force extérieure indépendante du temps. On admet que le gaz peut être décrit par la statique des fluides.

Chaque atome subit une force extérieure $-k\,\vec{r}$, où $\vec{r}$ est le vecteur position de l’atome et $k$ est un paramètre constant strictement positif (on rappelle que la gravité est négligée).

On note

• $n(\vec{r})$ la densité particulaire (c’est-à-dire le nombre d’atomes par unité de volume)
• $P(\vec{r})$ la pression
• $\vec{f}(\vec{r})$ la force extérieure par unité de volume subie par le gaz (aussi appelée densité volumique de force)
• $s(\vec{r})$ l’entropie par particule

au voisinage du point de vecteur position $\vec{r}$.

31) a) Donner une expression de $\vec{f}(\vec{r})$ faisant apparaître $k$ et $n(\vec{r})$.

b) En utilisant l’équation locale de la statique des fluides, en déduire une relation entre les fonctions $P(\vec{r})$ et $n(\vec{r})$.

32) Justifier en quelques mots le fait que $n(\vec{r})$, $P(\vec{r})$ et $s(\vec{r})$ ne dépendent pas de la direction de $\vec{r}$.

33) Justifier en quelques mots le fait que la température $T$ est uniforme dans tout le fluide.

34) Expliquer brièvement pourquoi, sous une hypothèse que l’on indiquera, on peut écrire

On admet dans la suite que $g_s(0) = 0$.

35) Dans cette question, on considère le cas où $T = 0$, et on admet que dans ce cas, il existe une distance $R$ telle que : $n(r) > 0$ pour $r < R$, et $n(r) = 0$ pour $r \geqslant R$.

a) Exprimer $n(r)$ en fonction de $r$, $n(0)$ et $R$ pour $r < R$ ; et exprimer $R$ en fonction de $k$, $g_P(0)$ et $n(0)$.

b) Tracer l’allure de $n(r)$.

c) On admet que $g_P(0) = \xi\,\dfrac{\hbar^2}{m}$ où $m$ est la masse d’un atome, $\hbar = 1{,}05 \times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ est la constante de Planck réduite, et $\xi$ est une constante qui vaut $\xi \approx 0.7$ d’après des expériences et des simulations numériques concordantes. Déterminer la valeur numérique de $R$ avec un chiffre significatif, pour des atomes de lithium 6 avec $n(0) = 2{,}7 \times 10^{19}\ \mathrm{m^{-3}}$. On utilisera $\sqrt{3{,}5} \approx 2$ et les données numériques figurant en bas de la page 1.

d) Dans le cas où la force extérieure est due aux faisceaux laser considérés dans la partie 1, cette force est-elle bien approximée par $-k\,\vec{r}$ pour tous les atomes du gaz ?

36) En réalité, $T$ n’est jamais strictement nulle. Dans cette question, on considère que la température est non nulle mais proche de 0.

a) On admet que la fonction $g_P$ est continue. Justifier en quelques lignes pourquoi $n(r)$ est proche du résultat trouvé à la question 35a lorsque $r$ est à la fois inférieur à $R$ et pas trop proche de $R$.

b) On admet que la fonction $n(r)$ est strictement positive et décroissante sur l’ensemble des $r$ positifs, et que $n(r) \underset{r\to\infty}{\longrightarrow} 0$. Tracer l’allure de $n(r)$.

4.3 Mécanique des fluides

Dans cette sous-partie, on considère un gaz unitaire soumis à une force extérieure dépendante du temps. On note $\vec{f}(\vec{r},t)$ la force extérieure par unité de volume subie par le gaz au voisinage du point de vecteur position $\vec{r}$ au temps $t$. On admet que le gaz peut être décrit par la mécanique des fluides.

On note $n(\vec{r},t)$ la densité particulaire au voisinage du point de vecteur position $\vec{r}$ à l’instant $t$, et $\vec{v}(\vec{r},t)$ le champ eulérien de vitesse du fluide.

L’équation locale de conservation du nombre d’atomes s’écrit :

On introduit les notations :

• $(x_1, x_2, x_3)$ pour les composantes $(x, y, z)$ du vecteur $\vec{r}$ en coordonnées cartésiennes,
• $(v_1, v_2, v_3)$ pour les composantes $(v_x, v_y, v_z)$ du vecteur $\vec{v}$ en coordonnées cartésiennes,
• $(f_1, f_2, f_3)$ pour les composantes $(f_x, f_y, f_z)$ du vecteur $\vec{f}$ en coordonnées cartésiennes.

On admet que dans le cas général d’un fluide compressible, l’équation de Navier-Stokes générale en coordonnées cartésiennes s’écrit : pour tout $i$ appartenant à $\{1; 2; 3\}$,

où le fluide est supposé monoatomique, $m$ est la masse d’un atome, $P$ est la pression, $\delta_{ij}$ est le symbole de Kronecker défini par

$\eta$ est la viscosité dynamique, et $\zeta$ est une grandeur appelée « viscosité de dilatation ».

On note $s(\vec{r},t)$ l’entropie par atome au voisinage du point de vecteur position $\vec{r}$ à l’instant $t$.

On admet que $s$ vérifie l’équation d’évolution

où $T$ est la température et $\kappa$ est la conductivité thermique du fluide.

En général, les grandeurs $n$, $\vec{v}$, $P$, $\vec{f}$, $\eta$, $\zeta$, $s$, $T$ et $\kappa$ dépendent toutes de $\vec{r}$ et $t$.

On admet que les grandeurs $\eta$, $\zeta$ et $\kappa$ (appelées coefficients de transport du fluide) sont positives, et sont des fonctions de $n$ et $T$ :

On considère la situation suivante. Chaque atome subit une force extérieure $-k(t)\,\vec{r}$, où $\vec{r}$ est le vecteur position de l’atome et

Pour $t \leqslant 0$, le fluide est à l’équilibre, à une température non nulle (on ne fait aucune autre hypothèse concernant l’état du fluide à $t \leqslant 0$).

On admettra que les fonctions $n(\vec{r},t)$, $\vec{v}(\vec{r},t)$, $s(\vec{r},t)$, $P(\vec{r},t)$ et $T(\vec{r},t)$ sont continues malgré la discontinuité de $k(t)$, et que $n(\vec{r},t)$ et $T(\vec{r},t)$ sont strictement positives pour tout $\vec{r}$ et $t$.

37) Donner une expression de $\vec{f}(\vec{r},t)$ faisant apparaître $k(t)$ et $n(\vec{r},t)$.

38) Justifier en quelques mots le fait que

• les fonctions $n(\vec{r},t)$, $s(\vec{r},t)$, $P(\vec{r},t)$ et $T(\vec{r},t)$ ne dépendent pas de la direction de $\vec{r}$
• le champ de vitesse est de la forme $\vec{v}(\vec{r},t) = v_r(r,t)\,\vec{u}_r$.

39) Vérifier que pour $t \leqslant 0$, l’équation de Navier-Stokes générale (12) se réduit à une équation beaucoup plus simple dont on indiquera le nom.

40) Expliquer brièvement pourquoi, sous des hypothèses que l’on indiquera, on peut écrire

On note

• $B_R$ la boule de rayon $R$ centrée à l’origine
• $N_B(R,t)$ le nombre d’atomes situés dans $B_R$ à l’instant $t$.

Dans la suite on admet la propriété suivante :

il existe une fonction $\lambda(t)$ définie pour $t \geqslant 0$ telle que

• pour tout $R$, le nombre d’atomes $N_B\big(\lambda(t)\,R\,,\,t\big)$ est indépendant de $t$ (P1)
• $\lambda(t)$ est une fonction périodique de $t$ (P2)
• $\lambda(t = 0) = 1$. (P3)

41) S’agit-il d’une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l’introduction du sujet ? Justifier brièvement.

42) Exprimer $N_B(R,t)$ en terme du profil de densité particulaire $n(r,t)$.

43) On pose $n_0(r) = n(r,0)$. Montrer que pour tout $r$ et tout $t \geqslant 0$, on a

44) a) Obtenir une expression de $\dfrac{\partial N_B}{\partial t}(R,t)$ faisant apparaître $v_r(R,t)$.

b) En déduire que pour tout $r$ et tout $t \geqslant 0$, on a

45) On pose $K = \displaystyle\sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} - \frac{2}{3}\,\delta_{ik}\,\mathrm{div}\,\vec{v}\right)^2$. Calculer $K$.

46) On note $S(t)$ l’entropie totale du fluide. En supposant que les fonctions $n\,s\,v$ et $\kappa\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\big(\ln T\big)$ tendent rapidement vers zéro pour $r \to \infty$, montrer que

Dans la suite on admet que pour tout $r$ et pour $t$ positif, $T(r,t)$ est une fonction périodique de $t$, de même période que $\lambda(t)$.

47) En déduire que $S(t)$ est constante.

48) a) Que peut-on en déduire concernant la viscosité de dilatation $\zeta$ d’un gaz unitaire ?

b) Indiquer brièvement en quoi ce résultat est une propriété extraordinaire, dans le sens défini dans l’introduction du sujet.

c) Proposer une explication intuitive du lien entre ce résultat et la périodicité de l’évolution du gaz.

49) a) En admettant que $\kappa > 0$, montrer que $T(r,t)$ est indépendant de $r$.

b) On note $T(r,t) = T(t)$, et $T_0 = T(t = 0)$. Montrer que pour tout $t \geqslant 0$,

Indication : On pourra poser $b(t) = T(t)\,\lambda(t)^2$ et commencer par établir une expression de $S(t)$ faisant apparaître $b(t)$.

50) a) On pose $s_0(r) = s(r,0)$. Relier $s(r,t)$ à $s_0(r)$.

b) On pose $P_0(r) = P(r,0)$. Relier $P(r,t)$ à $P_0(r)$.

On pose $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k_0}{m}}$ et $\omega_1 = \sqrt{\dfrac{k_1}{m}}$.

51) a) Montrer que pour $t > 0$, l’équation (12) est bien satisfaite à condition que $\lambda(t)$ vérifie une équation différentielle dont on exprimera les coefficients en termes de $\omega_0$ et $\omega_1$.

b) En se ramenant au problème étudié dans la partie 2, en déduire l’expression de $\lambda(t)$ en fonction de $t$, $\omega_0$ et $\omega_1$.

52) On pose

où $N$ est le nombre total d’atomes et $\vec{r}_i(t)$ est le vecteur position de l’atome $i$ à l’instant $t$.

a) On pose $G_0 = G(t = 0)$. Exprimer $G(t)$ en fonction de $t$, $G_0$, $\omega_0$ et $\omega_1$.

b) Vérifier que la forme du résultat obtenu est la même qu’à la question 17, sans chercher à comparer les différents coefficients constants. Pouvait-on s’y attendre ?

c) Tracer l’allure de $G(t)$, en traitant séparément les cas limites $\omega_0 \gg \omega_1$ et $\omega_0 \ll \omega_1$. Expliquer brièvement en quoi les résultats obtenus dans ces cas limites sont conformes à l’intuition physique.