X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 1.4. Étude d’un système de sphères concentriques

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2025 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 17 април 2025 г.

Consignes

JEUDI 17 AVRIL 2025 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Autour de l’énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d’étudier l’énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l’énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s’interrogera également sur la signification physique de l’énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l’une de l’autre, la première traitant de l’énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l’énergie de distributions de courants dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l’ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.

Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s’il n’a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.

La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s’appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Ce sujet comporte 15 pages, numérotées de 1 à 15.

Formulaire — Analyse vectorielle et intégrales utiles

— On désigne par :

  • grad→ ϕ\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi le gradient d’un champ scalaire ϕ\phi,
  • div X⃗\mathrm{div}\,\vec{X} la divergence d’un champ vecteur X⃗\vec{X},
  • rot→ X⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X} le rotationnel d’un champ vecteur X⃗\vec{X}.

— Pour ϕ\phi et X⃗\vec{X} des champs scalaire et vecteur quelconques :

  • rot→(grad→ ϕ)=0⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{0},
  • div(rot→ X⃗)=0\mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) = 0.

— Notant r⃗AB=r⃗B−r⃗A\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A, le gradient de 1/rAB1/r_{AB} vaut :

grad→B(1rAB)=−r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗B, donnant : d(1rAB)=grad→B(1rAB)⋅dr⃗B,(1)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = -\frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_B\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_B, \qquad (1)
grad→A(1rAB)=r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗A, donnant : d(1rAB)=grad→A(1rAB)⋅dr⃗A.(2)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_A\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_A. \qquad (2)

— Pour ϕ\phi, X⃗\vec{X} et Y⃗\vec{Y} des champs scalaire et vecteurs quelconques :

div (ϕX⃗)=ϕ(div X⃗)+(grad→ ϕ)⋅X⃗.(3)\mathrm{div}\,(\phi\vec{X}) = \phi\left(\mathrm{div}\,\vec{X}\right) + (\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi)\cdot\vec{X}. \qquad (3)
div (X⃗∧Y⃗)=Y⃗⋅(rot→ X⃗)−X⃗⋅(rot→ Y⃗).(4)\mathrm{div}\,(\vec{X}\wedge\vec{Y}) = \vec{Y}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) - \vec{X}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{Y}\right). \qquad (4)

— Le produit mixte de trois vecteurs X⃗\vec{X}, Y⃗\vec{Y} et Z⃗\vec{Z} possède les propriétés suivantes :

(X⃗∧Y⃗)⋅Z⃗=(Z⃗∧X⃗)⋅Y⃗=−(X⃗∧Z⃗)⋅Y⃗(5)\left(\vec{X}\wedge\vec{Y}\right)\cdot\vec{Z} = \left(\vec{Z}\wedge\vec{X}\right)\cdot\vec{Y} = -\left(\vec{X}\wedge\vec{Z}\right)\cdot\vec{Y} \qquad (5)

— Dans tout le sujet, on note dτr⃗\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} les éléments de volume dans les intégrales, où l’indice r⃗\vec{r} repère des éléments de volume dτ\mathrm{d}\tau sur lesquels l’intégration est effectuée. On repère similairement dS⃗r⃗\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}} et dl⃗r⃗\mathrm{d}\vec{l}_{\vec{r}} les éléments de surface et de longueur, respectivement.

— On rappelle les formulations des intégrales sur tout l’espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z)(x, y, z), cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z), et sphériques (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi) :

∭F(r⃗)dτr⃗=∭x,y,z=−∞x,y,z=+∞F(x,y,z) dx dy dz=∫r=0+∞∫θ=02π∫z=−∞+∞F(r,θ,z) r dr dθ dz=∫r=0+∞∫θ=0π∫ϕ=02πF(r,θ,ϕ) rsin⁡θ dr dθ dϕ.\begin{aligned}\iiint F(\vec{r})\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} &= \iiint_{x,y,z=-\infty}^{x,y,z=+\infty} F(x, y, z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-\infty}^{+\infty} F(r, \theta, z)\, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} F(r, \theta, \phi)\, r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.\end{aligned}

— On a :

∭r⃗⋅(r⃗+n⃗)r3∣r⃗+n⃗∣3dτr⃗=4π,(6)\iiint \frac{\vec{r}\cdot(\vec{r} + \vec{n})}{r^3|\vec{r} + \vec{n}|^3}\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} = 4\pi, \qquad (6)

où l’intégrale est effectuée sur tout l’espace et n⃗\vec{n} est un vecteur unitaire quelconque, et

∫0πsin⁡3θ dθ=43.(7)\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. \qquad (7)
Symétries et propriétés à grande distance des champs E et B

On rappelle quelques propriétés des champs électrique E⃗(r⃗)\vec{E}(\vec{r}) et magnétique B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) créés par des distributions de charges ρ(r⃗)\rho(\vec{r}) et de courants j⃗(r⃗)\vec{j}(\vec{r}). On note également V(r⃗)V(\vec{r}) le potentiel électrique.

— Symétries des champs par rapport aux charges et courants :

  • les plans de symétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont de symétrie pour E⃗\vec{E} et d’antisymétrie pour B⃗\vec{B},
  • les plans d’antisymétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont d’antisymétrie pour E⃗\vec{E} et de symétrie pour B⃗\vec{B}.

— Soit z=0z = 0 un plan de symétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=−X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = -\vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=X⃗T(x,y,−z),\vec{X}_T(x, y, z) = \vec{X}_T(x, y, -z),

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗N=0⃗\vec{X}_N = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc contenu dans le plan de symétrie.

— Soit z=0z = 0 un plan d’antisymétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = \vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=−X⃗T(x,y,−z).\vec{X}_T(x, y, z) = -\vec{X}_T(x, y, -z).

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗T=0⃗\vec{X}_T = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc perpendiculaire au plan de symétrie.

— On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale QQ. En électrostatique, magnétostatique, et dans l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :

  • si Q≠0Q \neq 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement en r−2r^{-2} et r−1r^{-1},
  • si Q=0Q = 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement au moins en r−3r^{-3} et r−2r^{-2},
  • quelle que soit QQ, B⃗\vec{B} décroît au moins en r−3r^{-3}.

— Discontinuité des champs électriques et magnétiques :

  • les champs E⃗\vec{E} ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
  • les champs B⃗\vec{B} ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.
Constantes fondamentales

— Vitesse de la lumière c=3,0×108 m⋅s−1c = 3{,}0\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

— Constante de Planck h=6,6×10−34 J⋅sh = 6{,}6\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

— Permittivité diélectrique du vide ε0=8,9×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 = 8{,}9\times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}

— Perméabilité magnétique du vide μ0=1,3×10−6 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 1{,}3\times 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}

— Masse de l’électron me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}

— Charge élémentaire e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}

On rappelle que μ0ϵ0c2=1\mu_0\epsilon_0 c^2 = 1.

Условие

On considère deux conducteurs sphériques SaS^a et SbS^b concentriques, de rayons RaR^a et RbR^b vérifiant Ra<RbR^a < R^b, et de charges respectives QaQ^a et QbQ^b. Ces charges sont réparties de façon homogène sur les sphères. Pour toute cette section, on se place en coordonnées sphériques centrées sur le centre des sphères étudiées.

On veut décomposer l’énergie électrostatique du système en la somme de l’énergie propre de chaque sphère et de l’énergie d’interaction électrostatique entre les deux sphères. Pour calculer ces énergies, on va étudier les travaux mis en jeu lorsque les deux sphères changent de rayon, avant de faire une comparaison avec les résultats obtenus en utilisant la formulation de l’énergie électrostatique introduite dans l’équation (13).

Vue de coupe d’un arc de la sphère : une portion en trait plein, délimitée par deux traits perpendiculaires et marquée Σ, prolongée de part et d’autre par des pointillés marqués Σ̄. Trois croix alignées sur un même rayon : P sur l’arc, P+ au-dessus et P− en dessous.
Figure 1 – Vue de coupe de l’élément Σ\Sigma sur la sphère SS, avec en pointillés le reste Σˉ\bar{\Sigma} de la sphère. Les points PP, P−P^- et P+P^+ ont également été représentés.

On considère pour commencer une sphère seule SS, de rayon RR, de densité surfacique de charges σ\sigma, et de charge totale QQ. On commence par calculer directement le travail fourni par la sphère sur elle-même lorsqu’elle change de rayon. Cela est cependant rendu difficile par le fait que le champ électrique créé par une distribution surfacique de charges diverge sur cette même surface.

Pour résoudre ce problème, on considère un élément Σ\Sigma de la sphère, de la forme d’un carré de centre PP, de côté bb négligeable par rapport à RR, et que l’on peut donc considérer comme plan. On va calculer la force exercée par le reste de la sphère Σˉ\bar{\Sigma} sur cet élément, en faisant l’hypothèse que le champ électrique E⃗Σˉ\vec{E}_{\bar{\Sigma}} créé par Σˉ\bar{\Sigma} est homogène sur Σ\Sigma, et peut donc être évalué en PP. On note également E⃗S\vec{E}_S et E⃗Σ\vec{E}_\Sigma les champs créés par SS et Σ\Sigma, respectivement.

On se place en coordonnées sphériques avec pour origine le centre de SS, et on définit les trois points PP, P−P^- et P+P^+, alignés sur un même rayon, et situés respectivement aux distances r=Rr = R, r=R−ϵr = R - \epsilon et r=R+ϵr = R + \epsilon du centre de SS. Ces trois points sont donc respectivement dans, en dessous et au dessus de Σ\Sigma (voir Figure 1).

23 En procédant par étapes, calculer la valeur du champ électrique créé par Σˉ\bar{\Sigma} en PP :

a) Calculer le champ E⃗S\vec{E}_S créé par SS en P−P^-, puis en P+P^+.

b) Sans effectuer un calcul explicite, montrer que l’on peut déterminer un facteur numérique α\alpha tel que E⃗Σ(P−)=αE⃗Σ(P+)\vec{E}_\Sigma(P^-) = \alpha\vec{E}_\Sigma(P^+). Quelle est la valeur du champ créé par Σ\Sigma en PP ?

c) En considérant la limite ε→0\varepsilon \to 0, en déduire la valeur du champ E⃗Σˉ\vec{E}_{\bar{\Sigma}} créé par Σˉ\bar{\Sigma} en PP, que l’on exprimera en fonction de RR, QQ et ε0\varepsilon_0.

24 En ne considérant pour chaque élément Σ\Sigma de SS que la force exercée par Σˉ\bar{\Sigma} sur celui-ci, en déduire que la sphère exerce sur elle-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut, sur un élément dS⃗\mathrm{d}\vec{S} orienté vers l’extérieur,

dF⃗=PesdS⃗,(16)\mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{es}}\mathrm{d}\vec{S}, \qquad (16)

où l’on exprimera PesP_{\mathrm{es}} en fonction de σ\sigma et ε0\varepsilon_0. Commenter le sens de cette force en fonction du signe de la charge totale QQ.

25 À partir du travail WW fourni par la sphère sur elle-même lors d’une transformation quasi-statique l’amenant d’un rayon R1R_1 à un rayon R2R_2, calculer la variation d’énergie propre ΔU\Delta U associée. En déduire l’énergie électrostatique US(R)U_S(R) d’une sphère de rayon RR, en supposant que cette énergie tend vers zéro lorsque R→∞R \to \infty. On écrira cette énergie en fonction de RR, QQ et ε0\varepsilon_0.

26 On revient à présent à l’étude des deux sphères SaS^a et SbS^b. La sphère intérieure SaS^a étant de rayon RaR^a fixé, calculer le travail Wa→bW_{a\to b} qu’elle fournit à la sphère extérieure SbS^b lorsque cette dernière passe de façon quasi-statique d’un rayon R1bR_1^b à un rayon R2bR_2^b. On écrira ce travail en fonction de QaQ^a, QbQ^b, ε0\varepsilon_0 et des rayons en question.

27 La sphère extérieure SbS^b étant de rayon RbR^b fixé, calculer le travail Wb→aW_{b\to a} qu’elle fournit à la sphère intérieure SaS^a lorsque celle-ci passe de façon quasi-statique d’un rayon R1aR_1^a à un rayon R2aR_2^a. Ce résultat est-il en contradiction avec la troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques ?

28 Des résultats précédents, déduire l’énergie UtotU_{\mathrm{tot}} de l’ensemble des deux sphères conductrices pour une configuration donnée où Rb>RaR^b > R^a, que l’on exprimera en fonction de QaQ^a, QbQ^b, ε0\varepsilon_0 et des rayons en question. Que peut-on dire de son signe ?

29 Comparer avec le résultat obtenu en utilisant l’équation (13), pour Qa=Q=−QbQ_a = Q = -Q_b.

30* Quelle est la limite de cette énergie quand RaR_a et RbR_b tendent vers l’infini ? Ce résultat est-il compatible avec le fait de prendre en compte l’énergie propre des charges individuelles composant ces sphères ? On pourra revenir sur une ou plusieurs des hypothèses effectuées dans cette partie. La réponse à cette question, qui pourra utiliser des résultats obtenus précédemment, ne demande pas de développements calculatoires poussés.

Решение

Внимание: Непълно решение

L’archive ne contient pas de corrigé officiel pour cette épreuve.

Оригинал в Архива: PC_2025_ulm.pdf