X-ENS 2025, Приемен изпит, физика и химия · Юлм — Задача 2.1. Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

ECOLES NORMALES SUPERIEURES — CONCOURS D’ADMISSION 2025 — FILIERE PC - Epreuve n° 7 — PHYSIQUE C (U) · 17 април 2025 г.

Consignes

JEUDI 17 AVRIL 2025 — 08h00 - 14h00

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Autour de l’énergie électromagnétique

Cette épreuve propose d’étudier l’énergie électromagnétique de distributions de charges et de courants. On essaiera notamment de déterminer l’énergie de telles distributions à partir des travaux nécessaires pour les mettre en place, et de relier les différentes formulations possibles de ces énergies. On s’interrogera également sur la signification physique de l’énergie propre de telles distributions, en lien avec les différents modèles microscopiques utilisés pour décrire ces distributions.

Le sujet est divisé en deux parties largement indépendantes l’une de l’autre, la première traitant de l’énergie de distributions de charges en électrostatique et la deuxième traitant de l’énergie de distributions de courants dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Ces deux parties ont cependant été pensées pour être effectuées dans l’ordre, et les candidats sont encouragés à procéder ainsi.

Tout résultat fourni dans l’énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s’il n’a pas été démontré. Dans le cas où un(e) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.

La plus grande importance doit être accordée à la qualité de la rédaction et de la présentation. Certaines questions, marquées par une étoile (*), requièrent une réflexion plus poussée de la part des candidats, sans être nécessairement plus calculatoires. Elles seront valorisées en conséquence, même si le raisonnement est inachevé. Les réponses doivent être clairement argumentées, en s’appuyant si nécessaire sur des schémas, tout en restant aussi concises que possible.

Ce sujet comporte 15 pages, numérotées de 1 à 15.

Formulaire — Analyse vectorielle et intégrales utiles

— On désigne par :

  • grad→ ϕ\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi le gradient d’un champ scalaire ϕ\phi,
  • div X⃗\mathrm{div}\,\vec{X} la divergence d’un champ vecteur X⃗\vec{X},
  • rot→ X⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X} le rotationnel d’un champ vecteur X⃗\vec{X}.

— Pour ϕ\phi et X⃗\vec{X} des champs scalaire et vecteur quelconques :

  • rot→(grad→ ϕ)=0⃗\overrightarrow{\mathrm{rot}}\left(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi\right) = \vec{0},
  • div(rot→ X⃗)=0\mathrm{div}\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) = 0.

— Notant r⃗AB=r⃗B−r⃗A\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A, le gradient de 1/rAB1/r_{AB} vaut :

grad→B(1rAB)=−r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗B, donnant : d(1rAB)=grad→B(1rAB)⋅dr⃗B,(1)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = -\frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_B\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_B\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_B, \qquad (1)
grad→A(1rAB)=r⃗ABrAB3en faisant varier r⃗A, donnant : d(1rAB)=grad→A(1rAB)⋅dr⃗A.(2)\overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \frac{\vec{r}_{AB}}{{r_{AB}}^{3}} \quad \text{en faisant varier } \vec{r}_A\text{, donnant : } \quad \mathrm{d}\left(\frac{1}{r_{AB}}\right) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}_A\left(\frac{1}{r_{AB}}\right)\cdot\mathrm{d}\vec{r}_A. \qquad (2)

— Pour ϕ\phi, X⃗\vec{X} et Y⃗\vec{Y} des champs scalaire et vecteurs quelconques :

div (ϕX⃗)=ϕ(div X⃗)+(grad→ ϕ)⋅X⃗.(3)\mathrm{div}\,(\phi\vec{X}) = \phi\left(\mathrm{div}\,\vec{X}\right) + (\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\phi)\cdot\vec{X}. \qquad (3)
div (X⃗∧Y⃗)=Y⃗⋅(rot→ X⃗)−X⃗⋅(rot→ Y⃗).(4)\mathrm{div}\,(\vec{X}\wedge\vec{Y}) = \vec{Y}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{X}\right) - \vec{X}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{Y}\right). \qquad (4)

— Le produit mixte de trois vecteurs X⃗\vec{X}, Y⃗\vec{Y} et Z⃗\vec{Z} possède les propriétés suivantes :

(X⃗∧Y⃗)⋅Z⃗=(Z⃗∧X⃗)⋅Y⃗=−(X⃗∧Z⃗)⋅Y⃗(5)\left(\vec{X}\wedge\vec{Y}\right)\cdot\vec{Z} = \left(\vec{Z}\wedge\vec{X}\right)\cdot\vec{Y} = -\left(\vec{X}\wedge\vec{Z}\right)\cdot\vec{Y} \qquad (5)

— Dans tout le sujet, on note dτr⃗\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} les éléments de volume dans les intégrales, où l’indice r⃗\vec{r} repère des éléments de volume dτ\mathrm{d}\tau sur lesquels l’intégration est effectuée. On repère similairement dS⃗r⃗\mathrm{d}\vec{S}_{\vec{r}} et dl⃗r⃗\mathrm{d}\vec{l}_{\vec{r}} les éléments de surface et de longueur, respectivement.

— On rappelle les formulations des intégrales sur tout l’espace en coordonnées cartésiennes (x,y,z)(x, y, z), cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z), et sphériques (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi) :

∭F(r⃗)dτr⃗=∭x,y,z=−∞x,y,z=+∞F(x,y,z) dx dy dz=∫r=0+∞∫θ=02π∫z=−∞+∞F(r,θ,z) r dr dθ dz=∫r=0+∞∫θ=0π∫ϕ=02πF(r,θ,ϕ) rsin⁡θ dr dθ dϕ.\begin{aligned}\iiint F(\vec{r})\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} &= \iiint_{x,y,z=-\infty}^{x,y,z=+\infty} F(x, y, z)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-\infty}^{+\infty} F(r, \theta, z)\, r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z\\ &= \int_{r=0}^{+\infty}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\phi=0}^{2\pi} F(r, \theta, \phi)\, r\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi.\end{aligned}

— On a :

∭r⃗⋅(r⃗+n⃗)r3∣r⃗+n⃗∣3dτr⃗=4π,(6)\iiint \frac{\vec{r}\cdot(\vec{r} + \vec{n})}{r^3|\vec{r} + \vec{n}|^3}\mathrm{d}\tau_{\vec{r}} = 4\pi, \qquad (6)

où l’intégrale est effectuée sur tout l’espace et n⃗\vec{n} est un vecteur unitaire quelconque, et

∫0πsin⁡3θ dθ=43.(7)\int_0^{\pi}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{4}{3}. \qquad (7)
Symétries et propriétés à grande distance des champs E et B

On rappelle quelques propriétés des champs électrique E⃗(r⃗)\vec{E}(\vec{r}) et magnétique B⃗(r⃗)\vec{B}(\vec{r}) créés par des distributions de charges ρ(r⃗)\rho(\vec{r}) et de courants j⃗(r⃗)\vec{j}(\vec{r}). On note également V(r⃗)V(\vec{r}) le potentiel électrique.

— Symétries des champs par rapport aux charges et courants :

  • les plans de symétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont de symétrie pour E⃗\vec{E} et d’antisymétrie pour B⃗\vec{B},
  • les plans d’antisymétrie de ρ\rho et j⃗\vec{j} sont d’antisymétrie pour E⃗\vec{E} et de symétrie pour B⃗\vec{B}.

— Soit z=0z = 0 un plan de symétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=−X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = -\vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=X⃗T(x,y,−z),\vec{X}_T(x, y, z) = \vec{X}_T(x, y, -z),

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗N=0⃗\vec{X}_N = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc contenu dans le plan de symétrie.

— Soit z=0z = 0 un plan d’antisymétrie du champ X⃗(r⃗)\vec{X}(\vec{r}) dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z), on a :

X⃗N(x,y,z)=X⃗N(x,y,−z),\vec{X}_N(x, y, z) = \vec{X}_N(x, y, -z),
X⃗T(x,y,z)=−X⃗T(x,y,−z).\vec{X}_T(x, y, z) = -\vec{X}_T(x, y, -z).

où X⃗N\vec{X}_N et X⃗T\vec{X}_T sont les composantes normale et tangentielle de X⃗\vec{X} par rapport à ce plan. Pour z=0z = 0, on a X⃗T=0⃗\vec{X}_T = \vec{0}, et X⃗(x,y,0)\vec{X}(x, y, 0) est donc perpendiculaire au plan de symétrie.

— On considère les champs à grande distance de distributions finies de charges et de courants, de charge totale QQ. En électrostatique, magnétostatique, et dans l’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS), on a :

  • si Q≠0Q \neq 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement en r−2r^{-2} et r−1r^{-1},
  • si Q=0Q = 0, E⃗\vec{E} et VV décroissent respectivement au moins en r−3r^{-3} et r−2r^{-2},
  • quelle que soit QQ, B⃗\vec{B} décroît au moins en r−3r^{-3}.

— Discontinuité des champs électriques et magnétiques :

  • les champs E⃗\vec{E} ne sont pas définis sur une distribution surfacique de charges,
  • les champs B⃗\vec{B} ne sont pas définis sur une distribution linéique de courants.
Constantes fondamentales

— Vitesse de la lumière c=3,0×108 m⋅s−1c = 3{,}0\times 10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}

— Constante de Planck h=6,6×10−34 J⋅sh = 6{,}6\times 10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}

— Permittivité diélectrique du vide ε0=8,9×10−12 F⋅m−1\varepsilon_0 = 8{,}9\times 10^{-12}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}

— Perméabilité magnétique du vide μ0=1,3×10−6 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 1{,}3\times 10^{-6}\ \mathrm{T\cdot m\cdot A^{-1}}

— Masse de l’électron me=9,1×10−31 kgm_e = 9{,}1\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}

— Charge élémentaire e=1,6×10−19 Ce = 1{,}6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}

On rappelle que μ0ϵ0c2=1\mu_0\epsilon_0 c^2 = 1.

Условие

Deuxième partie — Énergie magnétique

On étudie dans cette partie l’énergie de distributions de courants dans des circuits conducteurs non-magnétiques. Sauf mention contraire, on n’étudiera que des systèmes d’extension spatiale finie. Par convention, on considérera que l’énergie d’interaction magnétique entre deux systèmes d’extension spatiale finie tend vers zéro quand la distance entre ceux-ci tend vers l’infini.

Dans toute cette partie, on se place également dans l’approximation des Régimes Quasi-Stationnaire (ARQS) magnétique. Dans cette approximation, les équations de Maxwell prennent la forme suivante :

div E⃗=ρε0,rot→ E⃗=−∂B⃗∂t,div B⃗=0,rot→ B⃗≃μ0j⃗.(17)\mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, \qquad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \simeq \mu_0\vec{j}. \qquad (17)

On a également

div j⃗=0,(18)\mathrm{div}\,\vec{j} = 0, \qquad (18)

et l’on supposera que l’on peut décomposer toute distribution volumique de courants en une somme continue de distributions filiformes à courant constant.

On cherche à estimer l’énergie associée à une distribution de courants dans un champ magnétique. Pour ce faire, on commence par suivre le même raisonnement que dans le début de la partie précédente, en étudiant le travail reçu par un élément de circuit parcouru par un courant lorsqu’il est déplacé dans un champ magnétique.

31 On considère un circuit filiforme orienté CC, parcouru par un courant constant II et déplacé dans un champ magnétique B⃗\vec{B}. On considère un élément dl⃗\mathrm{d}\vec{l} de ce circuit, soumis à un déplacement du⃗\mathrm{d}\vec{u}. Montrer que le travail élémentaire de la force de Laplace sur cet élément pour ce déplacement vaut

δwL=IB⃗⋅(du⃗∧dl⃗).(19)\delta w_L = I\vec{B}\cdot(\mathrm{d}\vec{u}\wedge\mathrm{d}\vec{l}). \qquad (19)

32 À l’aide d’un schéma, identifier du⃗∧dl⃗\mathrm{d}\vec{u}\wedge\mathrm{d}\vec{l} à un élément de surface dS⃗\mathrm{d}\vec{S}. En déduire que le travail des forces de Laplace sur le circuit CC lors d’une translation élémentaire du⃗\mathrm{d}\vec{u} vaut

δWL=IdΦc,(20)\delta W_L = I\mathrm{d}\Phi_c, \qquad (20)

où dΦc\mathrm{d}\Phi_c est un flux infinitésimal de champ magnétique sur une surface dΣc\mathrm{d}\Sigma_c que l’on représentera graphiquement. Préciser explicitement sur le schéma l’orientation des vecteurs dS⃗\mathrm{d}\vec{S}.

33 On suppose que le circuit CC, parcouru par un courant constant II, subit un déplacement entre une position initiale à tinit_{\mathrm{ini}} et une position finale à tfint_{\mathrm{fin}}. Si l’on ne fixe aucune contrainte sur le champ magnétique B⃗(r⃗,t)\vec{B}(\vec{r}, t) :

a) L’intégration sur cette trajectoire du travail élémentaire précédent peut-elle être exprimée uniquement à partir des positions initiale et finale du circuit ?

b) Peut-elle être exprimée sinon à partir de la donnée de la trajectoire géométrique du circuit entre ces deux positions ?

c) Qu’en est-il si l’intensité II parcourant le circuit varie avec le temps ?

34 On suppose à présent que le circuit CC effectue un déplacement à courant II toujours constant, mais dans un champ B(r⃗)B(\vec{r}) stationnaire. Montrer que le travail des forces de Laplace pour un déplacement fini correspond à

WL=η IΔΦ,(21)W_L = \eta\, I\Delta\Phi, \qquad (21)

où ΔΦ=Φfin−Φini\Delta\Phi = \Phi_{\mathrm{fin}} - \Phi_{\mathrm{ini}} est la variation de flux de B⃗\vec{B} à travers le circuit CC, entre ses configurations initiale et finale, notées CiniC_{\mathrm{ini}} et CfinC_{\mathrm{fin}}, et η\eta est un facteur numérique à déterminer. On s’appuiera en particulier sur un schéma où l’on fera apparaître clairement les différentes grandeurs introduites. Ce résultat constitue le théorème de Maxwell.

35 En déduire l’énergie potentielle d’interaction UIU_I d’un circuit CC parcouru par un courant II constant dans un champ B(r⃗)B(\vec{r}) stationnaire. Que peut-on en déduire sur les déplacements spontanés d’un circuit rigide à courant constant dans un champ magnétique stationnaire ? Cette conclusion est-elle valide a priori pour des circuits non-rigides ?

On va vérifier la validité du théorème de Maxwell sur des cas simples. On considère pour cela un solénoïde S\mathcal{S} de longueur LL grande devant son rayon RR, et bobiné avec nn spires par unité de longueur, parcourues par un courant I0I_0. On se place dans un repère cartésien (x,y,z)(x, y, z) tel que l’axe (O,e⃗z)(O, \vec{e}_z) est l’axe de symétrie de révolution du solénoïde. Le champ magnétique que celui-ci génère peut être approximé dans la suite, sauf mention contraire explicite, par celui d’un solénoïde infiniment long. On rappelle que le champ magnétique créé par un tel solénoïde est nul à l’extérieur de celui-ci, et vaut en son intérieur :

B⃗0=B0e⃗z=μ0nI0e⃗z.(22)\vec{B}_0 = B_0\vec{e}_z = \mu_0 n I_0\vec{e}_z. \qquad (22)

On commence par étudier le travail que reçoit une spire rigide carrée, de côté aa, au cours de ses déplacements à l’intérieur du solénoïde. On suppose que cette spire, parcourue par un courant constant IsI_s, est disposée initialement dans le plan (x,y)(x, y), centrée sur l’axe de symétrie du solénoïde, et de telle façon que le flux magnétique du champ du solénoïde à travers cette spire soit positif. On considère deux trajectoires, en supposant que la spire reste à l’intérieur du solénoïde :

A1 : la spire subit une translation dans le plan (x,y)(x, y).

A2 : la spire subit une rotation autour d’une droite passant par son centre et alignée avec l’axe yy, jusqu’à se trouver dans le plan (y,z)(y, z).

36 Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A1, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell.

37 Calculer le travail des forces de Laplace sur la spire dans le cas A2, et le comparer au travail prédit par le théorème de Maxwell. On pourra utiliser sans la redémontrer, mais en justifiant sa validité, l’expression

Γ⃗L=M⃗∧B⃗0,(23)\vec{\Gamma}_L = \vec{\mathcal{M}}\wedge\vec{B}_0, \qquad (23)

du couple subi par un dipôle magnétique M⃗\vec{\mathcal{M}} dans un champ uniforme B⃗0\vec{B}_0. On pourra également accompagner les calculs d’un schéma.

On considère à présent une variation du rayon RR du solénoïde S\mathcal{S} introduit précédemment, tout en gardant fixes ses paramètres nn et I0I_0. On souhaite calculer le travail qu’il reçoit sous sa propre action lors de cette déformation. Cela est rendu difficile par le fait que lorsqu’on évalue le travail reçu par chaque élément de circuit sous l’action du champ magnétique, il faut exclure l’effet du champ magnétique généré par cet élément de circuit lui-même.

Pour étudier ce problème, on va procéder de façon similaire à ce qui a été fait dans la section 1.4 pour l’étude du travail d’une sphère chargée sur elle-même. On considère donc un élément Σ\Sigma du solénoïde, de la forme d’un carré de centre PP, de côté bb négligeable devant RR, et que l’on peut considérer comme plan. On va alors calculer la force exercée par le reste du solénoïde Σˉ\bar{\Sigma} sur cet élément, en supposant que le champ magnétique B⃗Σˉ\vec{B}_{\bar{\Sigma}} créé par Σˉ\bar{\Sigma} est homogène sur Σ\Sigma, et peut donc être évalué en PP. On note B⃗S\vec{B}_{\mathcal{S}} et B⃗Σ\vec{B}_\Sigma les champs créés par S\mathcal{S} et Σ\Sigma, respectivement. On décrira les courants dans l’élément Σ\Sigma comme ceux d’un ensemble de fils parallèles d’épaisseur négligeable.

Par la suite, on pourra utiliser un jeu de coordonnées cylindriques (r,θ,z)(r, \theta, z) où l’axe (O,e⃗z)(O, \vec{e}_z) reste l’axe de symétrie de révolution du solénoïde.

38* En vous appuyant notamment sur des schémas clairs, faisant apparaître explicitement les différents éléments du raisonnement, calculer la valeur du champ magnétique B⃗Σˉ\vec{B}_{\bar{\Sigma}} créé par Σˉ\bar{\Sigma} au point PP.

39 En déduire que le solénoïde exerce sur lui-même une force qui peut être décrite comme une force de pression, qui vaut sur un élément dS⃗\mathrm{d}\vec{S} orienté vers l’extérieur :

dF⃗=PmsdS⃗,(24)\mathrm{d}\vec{F} = P_{\mathrm{ms}}\mathrm{d}\vec{S}, \qquad (24)

où l’on exprimera PmsP_{\mathrm{ms}} en fonction des paramètres pertinents du système. Commenter le sens de cette force en fonction du signe du courant I0I_0.

40 En déduire le travail reçu par le solénoïde sous sa propre action lorsqu’il passe de façon quasi-statique d’un rayon RR à un rayon 2R2R. Comparer ce résultat à celui obtenu par le théorème de Maxwell. Si ceux-ci ne sont pas en accord, proposer une justification.

Решение

Внимание: Непълно решение

L’archive ne contient pas de corrigé officiel pour cette épreuve.

Оригинал в Архива: PC_2025_ulm.pdf