ПредишенСледващ

Движение в две измерения

Автор: Claude Fable

Разлагане на независими едномерни движения, наклонени оси, ефективна гравитация и полярни координати — включително кога разлагането се чупи.

Редактирай тази страница

Урок

Двумерното движение стои на един принцип и на изкуството да го прилагате в правилните оси: движенията по двете оси са независими, ако уравненията за тях не се преплитат. Този модул показва трите работни похвата — разлагане (евентуално след смяна на системата), накланяне на осите към „ефективна гравитация“ и полярни координати за криволинейно движение — и, също толкова важно, показва на реална състезателна задача кога независимостта се проваля.

Ресурси
Zhou
Mechanics I: Kinematics, §3 (Motion in Two Dimensions)

Идеи 7–8 и примери 5–7.

Kleppner, Kolenkow - An Introduction to Mechanics
§1.6–1.9 (движение в равнина, полярни координати)

Изводът на радиалната и трансверзалната компонента на скоростта и ускорението.

Независимост и наклонени оси

Идея 7: Две измерения = две независими задачи по едно

Двумерна задача често се разпада на две независими едномерни — по една за всяка ос. Понякога първо трябва смяна на отправната система, за да се получи разпадането.

Идея 8: Ъгълът на наклонената равнина — близо до 0° или 90°

Когато чертаете задача с наклонена равнина, рисувайте ъгъла θ\theta явно близък до 0°0° или до 90°90°, а не до 45°45°. Почти всеки ъгъл в чертежа ще е или θ\theta, или 90°−θ90° - \theta — при екстремен ъгъл ги различавате на око и не разменяте синус с косинус.

Пример 5: Хвърляне при постоянен хоризонтален вятър
Zhou M1 - Normal

Задача за концентрация – опитайте се да решите тази задача преди да продължите!

Решение

Кога независимостта се чупи

Разгледайте внимателно пример 6 от записките (F = ma 2022, A23): два еднакви предмета падат от една височина, но единият има начална хоризонтална скорост. При линейно съпротивление уравненията по осите са

ax=−bvx,ay=−g−bvya_x = -b v_x, \qquad a_y = -g - b v_y

— напълно независими, затова времената за падане са равни. При квадратично съпротивление обаче

ay=−g−b vy ∣v⃗∣,a_y = -g - b\,v_y\,|\vec v|,

вертикалното уравнение усеща хоризонталната скорост през ∣v⃗∣=vx2+vy2|\vec v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}: хвърленият настрани предмет пада по-бавно. Изводът, който трябва да отнесете:

Внимание: Проверявайте дали уравненията наистина се разделят

„Разлагаме по оси“ не е универсален закон, а свойство на конкретните уравнения. Линейното съпротивление разделя осите; квадратичното ги преплита. Преди да разложите, изпишете уравненията и се убедете, че всяко съдържа само своята координата.

Полярни координати

Когато движението естествено се описва с разстояние и ъгъл (спирали, преследвания, орбити), разложете скоростта на радиална и трансверзална компонента:

vr=drdt,vθ=rdθdt.v_r = \frac{dr}{dt}, \qquad v_\theta = r\frac{d\theta}{dt}.

Пример 7 от записките е образец: буболечка лети към лампа с постоянна скорост vv под постоянен ъгъл α\alpha спрямо радиалната посока. Тогава r˙=−vcos⁡α\dot r = -v\cos\alpha и rθ˙=vsin⁡αr\dot\theta = v\sin\alpha; разделяме двете уравнения (търсим траекторията, не времевата зависимост) и получаваме

drdθ=−rtan⁡α⟹Δθ=tan⁡α ln⁡LR\frac{dr}{d\theta} = -\frac{r}{\tan\alpha} \quad\Longrightarrow\quad \Delta\theta = \tan\alpha \,\ln\frac{L}{R}

при спускане от r=Lr = L до r=Rr = R — логаритмична спирала. Забележете похвата „делим уравненията, за да убием времето“: същият, с който извеждахме траектории в модула за диференциални уравнения.

Защо нощните пеперуди се въртят около лампите

Пеперудите поддържат постоянен ъгъл спрямо източника на светлина — навигация, еволюирала за безкрайно далечен източник (Луната), при който постоянният ъгъл дава права линия. За близка лампа същият алгоритъм произвежда логаритмичната спирала от пример 7 — и колизия. Красив случай на правилен алгоритъм с грешно гранично условие.

Изстрелвате снаряд, а вятър упражнява постоянна хоризонтална сила върху него. Траекторията му е:

Въпрос 1 от 2

Задачи

Решенията на задачите от записките са в M1Sol; USAPhO и EFPhO задачите търсете в Архива през линковете.

СтатусИзточникИме на задачатаТрудностТагове
USAPhO Quarterfinal
Количка с вертикално оръдие (Quarterfinal 2002; Zhou M1.21)
Лесно
Покажи таговетеОтправни системи, Разлагане
Kalda
Две топчета от върха (Kalda; Zhou M1.22)
Нормално
Покажи таговетеОтносително движение
Kalda
Еластично топче между две стени (Kalda; Zhou M1.23)
Нормално
Покажи таговетеНаклонени оси, Отражения
USAPhO 2004
USAPhO 2004, задача A4
Трудно
Покажи таговетеДвумерно движение
EFPhO 2010
Пръскачка-полусфера (EFPhO 2010; Zhou M1.25)
Трудно
Покажи таговетеРазпределения, Хвърляния
Zhou M1
Свръхзвуков самолет и едновременен звук (Zhou M1.26)
Нормално
Покажи таговетеПолярни координати
Zhou M1
Маса върху пружина с нулева дължина (Zhou M1.27)
Много трудно
Покажи таговетеВъртяща се система, Двумерни осцилации

Напредък по модули:

ПредишенСледващ