Балкански 2022, Теория — Задача 1. Моделизиране на въздушния поток

Concours Général de Physique «Minko Balkanski»

Бележка от източника

Инструкции за участие. Моля, изпращайте решения си до 30-ти юни на Любен Личев на адрес lubem@abv.bg. Решенията могат да са сканирани или снимани с добро качество на изображението. В случай, че изображенията са твърде големи, за да бъдат прикачени към писмо, можете да ги качите в избрана от вас платформа (Dropbox, Google Drive, One Drive,…), така че да са достъпни за сваляне през публичен линк, който ще изпратите в писмото си до Любен Личев. Във всички случаи, не пропускайте да отбележите в писмото си следните данни: трите имена, клас (най-много 11-ти за 2021/2022), град, училище, електронен адрес, телефон за връзка, тема (математика или физика). Не се разрешава повторно изпращане на решения, добавки, корекции и т.н. В задочния кръг се разрешава едновременно участие в конкурсите по математика и физика, като в този случай изпращайте решенията на двете теми отделно. С първенците ще се свържем през юли. Конкурсът е индивидуален.

Въпросите, отбелязани с *, са с повишена трудност. Можете да използвате резултатите от предишни въпроси без доказателство. Частични решения също се оценяват.

Успех!

Условие

Електричеството се е превърнало в необходимост и често е приемано за даденост. Ще разгледаме няколко метода за генериране на електричество и ще се опитаме да ги анализираме - да изразим ключови параметри, както и да представим ограниченията на технологиите.

В рамките на проекти и планове за устойчиво развитие се дискутира идеята за генериране на електричество базирано на възобновяеми източници, които да имат ниски мощности и да захранват изолирани обекти. В същото време конвенционалният подход е да се използват електроцентрали, които да захранват дори милиони домакинства.

Първият метод, който ще разгледаме, е генериране на електричество чрез ветрогенератор.

Ветрогенераторът е устройство, което преобразува кинетичната енергия на вятъра в механична енергия (посредством турбина с хоризонтална ос на въртене, насочена срещу вятъра), която след това, най-често, бива трансформирана в електроенергия. Обикновено биват инсталирани на места, където климата предразполага към постоянен вятър (напр. морски бриз), могат да бъдат част от по-голям ветрогенераторен парк (множество ветрогенератори инсталирани в една местност) или да бъдат инсталирани самостоятелно. Често биват споменавани като тип зелена енергия, главно защото работят благодарение на вятъра, който е неизчерпаем източник на енергия.

За допълнително увеличаване на ефективността им, в някои случаи ветрогенераторите имат възможност да се завъртат по посоката, от която идва вятъра. Всеки ветрогенератор има нужда от минимална скорост на вятъра $v_{min}$, за да се задвижи, както и максимална скорост на вятъра $v_{max}$, при която може да се използва.

Нека започнем анализа си, като направим следните хипотези:

— Считаме въздуха за идеален флуид, който е хомогенен, несвиваем и има плътност $\rho(kg/m^3)$.

— Считаме движението на въздуха за стационарно и за имащо аксиална симетрия около оста на въртене на турбината.

— Отправната система, в която работим, е инерциална.

— Налягането на въздуха на голямо разстояние от ветрогенератора е равно на атмосферното налягане $p_0$.

— Въздушният поток през ветрогенератора е изобразен схематично на фигура 1. Напречните сечения $S_a$ и $S_b$ на въздушния поток непосредствено преди и след ветрогенератора са равни помежду си и отбелязваме с $p_a$ и $p_b$ налягането на въздуха респективно непосредствено преди и след ветрогенератора.

— Налягането на въздуха запазва една и съща стойност, когато се вдижим в равнина перпендикулярна на оста на въртене, докато сме във въздушния поток на ветрогенератора.

— Пренебрегваме теглото на въздуха.

— Приемаме, че скоростта на въздуха непосредствено преди и непосредствено след ветрогенератора е еднаква.

Нека започнем анализа си върху механичната част на ветрогенератора:

1. Дискутирайте всяка от хипотезите (с по 1-2 изречения!) като обърнете внимание на това до колко са правдоподобни.

2. Изразете масовия поток $D_M(kg/s)$ през дадените напречни сечения ($S_1, S_2, S_a, S_b$) и използвайки това, че тази величина се запазва, достигнете до две зависимости между $S_1, S_2, S(S=S_a=S_b), v_1, v_2, v(v=v_a=v_b)$. Обосновете защо $D_M$ се запазва.

3. Прилагайки уравнението на Бернули първо между $S_1$ и $S_a$, след това между $S_b$ и $S_2$, изразете съответно $p_a$ и $p_b$ като функции на $p_0, \rho, v$ и съответно $v_1$ и $v_2$.

4. ДОПЪЛНИТЕЛЕН ВЪПРОС: Защо не можем да приложим уравнението на Бернули директно между $S_1$ и $S_2$?

5. Представете схематично как скоростта на флуида и налягането му се променят като функция на z. Коментирайте.

6. Търсим каква е силата, която въздуха прилага върху ветрогенератора. За целта разглеждаме тънък цилиндър от въздух, който преминава през ветрогенератора, анализирайки го достигаме до извода, че на системата действат три сили - сила породена от налягането върху $S_a$, сила породена от налягането върху $S_b$ и силата, с която ветрогенератора действа върху въздуха. Сумата на тези три сили е равна на нула. Използвайки тази информация, намерете силата, която въздуха прилага върху ветрогенератора.

7. Прилагайки същата техника, но този път за системата съставена от въздуха между $S_1$ и $S_2$, получаваме следното равенство: $F = -D_M(v_2 - v_1)$. Използвайки този резултат покажете че $v = \frac{v_1+v_2}{2}$.

8. Изразете мощността получена от ветрогенератора като функция на $\rho, S, v_1$ и $x = \frac{v_2}{v_1}$.

9. Добре известен факт е, че ветрогенераторите имат максимална теоретична ефективност, която ще се опитаме да намерим. В предишния въпрос изразихме мощността на ветрогенератора като функция на x. Намерете максимума и, използвайки метод по ваш избор (числени методи са приложими).

10. Ефективността на ветрогенератора се дефинира като отношението между мощността, добита от ветрогенератора, и потока от кинетична енергия, който попада върху ветрогенератора $r_{eth} = \frac{P}{E_k}$. Изразете потока от кинетична енергия през напречното сечение $S_1$, където потока на флуид има скорост $v_1$, както е описано в задачата. Изразете теоретичната ефективност $r_{eth}$ като функция на x.

11. Пресметнете числените стойности за мощността $P_{Max}$ и $r_{eth}$ за $\rho = 1.3\ kg.m^{-3}$, $v_1 = 12\ m.s^{-1}$, $S = 1.4\ m^2$ и е избрано по такъв начин, че добитата мощност да е максимална.

12. Отчитайки допълнителни реални ефекти (като например турболентно движение на въздуха при преминаването му през ветрогенератора) се оказва, че реалната мощност е по-ниска от теоретичната и може да бъде изразена като $P_{real} = \frac{1}{2}C_p \rho S v_1^3$, където $C_p$ е коефициент на производителност. Каква е максималната възможна стойност на $C_p$? Минималната? Използвайки числените стойности от по-рано и коефициента $C_p = 0.25$ даден от производителя, намерете каква мощност би имал един такъв ветрогенератор. Коментирайте.

Решение

---

Оригинал в Архива: CGP_2022_r1.pdf