BelPhO 1990, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4

• $\mu \ge \frac{M + \frac{m}{2}}{M + m}\,tg\alpha$

Пусть человек находится на расстоянии $x$ от верхнего края лестницы. Тогда условия равновесия лестницы имеет вид

где (1) – суммарный момент сил, действующих на лестницу относительно точки $A$, (2) – сумма проекций сил на вертикальную ось. Сила трения покоя не превышает силы трения скольжения, поэтому

Выражая из (1), (2) величины $N$ и $F_{\text{тр}}$, подставляя их в (3), получим необходимое условие равновесия:

Как следует из этого неравенства сила трения достигает максимального значения, когда человек поднимается на вершину лестницы, т.е. при $x = 0$. Поэтому окончательный ответ задачи

Отметим, что при $M \gg m$ ответ упрощается и приобретает знакомый вид