Съдържание

BelPhO 1992, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1992

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Гомель, 1992 г.)

Условие

Поршни реального гидравлического пресса изготовлены из материала с плотностью в $n$ раз большей плотности жидкости, залитой в пресс. После герметической подгонки оказалось, что поршни могут находиться в состоянии равновесия, когда разность уровней жидкости в коленах пресса изменяется от $h_{min}$ до $h_{max}$ . Определите толщину поршня в широком колене, если толщина поршня в узком колене равна $h_1$ . Трение поршней о стенки считать сухим.

Гидравлический пресс: узкое левое колено с тонким поршнем и широкое правое колено с толстым поршнем, соединённые снизу, заполнены жидкостью; уровни в коленах различны; вектор g вниз.

Отговори

Решение

Различие в уровнях жидкости в коленах пресса возможно благодаря весу самих поршней и сухому трению между поршнями и стенками.

Давление на уровне $AB$ в жидкости должно быть одинаковым в обоих коленах. Пусть поршни разведены на $h_{max}$ , тогда

Пресс с поршнями в двух коленах: уровень AB, силы тяжести M_1g и M_2g вниз, силы трения F_тр.1 (вверх у левого поршня) и F_тр.2 (вверх у правого поршня), разность уровней h_max.

P_A=\frac{M_1g}{S_1}+\frac{F_{\text{тр}1}}{S_1}=P_B=\rho gh_{max}+\frac{M_2g-F_{\text{тр}2}}{S_2}, \qquad (1)

где $M_i$ и $S_i$ , $i=1,2,$ массы и поперечные сечения соответственно первого и второго поршней. В положении с $h_{min}$ силы трения поменяют свое направление (поршни будут стремиться «разъехаться»), и уравнение примет вид

\frac{M_1g-F_{\text{тр}1}}{S_1}=\rho gh_{min}+\frac{M_2g+F_{\text{тр}2}}{S_2}. \qquad (2)

Учитывая, что $\frac{M_ig}{S_i}=\rho_igh_i$ , где $\rho_i, h_i$ плотность материала $i-$ того поршня и его толщина, из (1) и (2) имеем

2h_1\eta=\left(h_{max}+h_{min}\right)+2h_2\eta\Rightarrow h_2=h_1-\frac{h_{max}+h_{min}}{2\eta}. \qquad (3)

Как видно из (3) $h_2<h_1,$ то есть более тонкий поршень окажется «наверху». Самостоятельно проанализируйте случай, когда при переходе от $h_{min}$ к $h_{max}$ поршни меняются «местами».

Оригинал в Архива: 1992problems.pdf · официални решения: 1992solutions.pdf