BelPhO 1993, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3

• $T = \frac{GMh\mu}{Rr^2}$

  В решении $r$ — радиус астероида, $R$ — универсальная газовая постоянная.

Прежде всего отметим, что высота атмосферы понятие в некотором смысле условное, так как давление и плотность газа над поверхностью астероида изменяется и стремится к нулю только на бесконечно больших высотах . Однако, оценку толщины слоя газа можно получить из следующих соображений. При изменении высоты на величину $\Delta h$ давление изменяется на величину

где $\rho$ - плотность газа на данной высоте, $g$ - ускорение свободного падения на данной планете. Плотность газа находится из уравнения состояния, справедливого не только на Земле, но и на любой другой планете

где $\mu$ - молярная масса, $R$- универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура. Полагая скорость изменения давления с высотой постоянной, найдем из уравнения (1) высоту, на которой давление упадет до нуля ( то есть $\Delta P = -P$ )

Отметим, что для изотермической атмосферы на этой высоте давление уменьшается в $e = 2{,}71828...$раз . Полученная оценка высоты аналогична известной оценке времени разряда конденсатора, когда его заряд уменьшается в $e$ раз. Ускорение свободного падения на поверхности астероида определяется формулой

где $M, r$ - масса и радиус астероида, $G$ - гравитационная постоянная. Из соотношений (3) и (4) находим

Конечно необходимо признать, что условие данной задачи может быть воспринято неоднозначно. Подробное обсуждение иных подходов к данной задаче можно найти в рубрике “Одна задача” в журнале “Фокус” №3 за 1993 год.