Съдържание

BelPhO 1994, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1994

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Барановичи, 1994 г.)

Условие

11 класс

В днище ящика расположены две подвижные опоры, которые совершают относительно ящика одномерные противофазные гармонические колебания с амплитудой $a = 1{,}0\text{см}$ и круговой частотой $\omega = 180\text{с}^{-1}$ . Ящик поставлен на наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha = 1{,}0^{0}C$ с горизонтом. Коэффициент трения опор о наклонную плоскость $\mu = 0{,}20$ . Найдите среднюю установившуюся скорость движения ящика по наклонной плоскости.

Ящик на наклонной плоскости с углом α к горизонту; в днище две опоры, колеблющиеся в противофазе (стрелки вдоль плоскости); вектор g вниз.

Отговори

Решение

Сила трения направлена в сторону противоположную направлению скорости движения тела относительно поверхности. Если бы ящик покоился, то суммарная сила трения, действующая на ящик была бы равна нулю (так как опоры колеблются в противофазе, то силы трения, действующие на них все время направлены в противоположные стороны). Когда ящик начинает двигаться, то в течении некоторого интервала времени опоры будут двигаться в одну сторону относительно наклонной плоскости. Пусть скорость первой опоры относительно ящика зависит от времени по закону

v'_1 = a\omega\sin\omega t,

тогда скорость второй

v'_2 = -a\omega\sin\omega t.

Если скорость ящика равна $U$ , то скорости платформ относительно наклонной плоскости равны

\begin{cases} v_1 = U + a\omega\sin\omega t, \\ v_2 = U - a\omega\sin\omega t. \end{cases}

Суммарная сила трения отлична от нуля, когда $v_1 > 0,\ v_2 > 0$ (при этом сила трения направлена вверх по наклонной плоскости). Заметим, что условия $v_1 < 0,\ v_2 < 0$ при неположительном $U$ не выполняются никогда. Так как угол наклона плоскости $\alpha$ мал, то можно предположить, что средняя скорость движения ящика значительно меньше максимальной скорости движения опор $a\omega$ (справедливость этого предположения проверим позже). Итак, сила трения отлична от нуля и равна при выполнении условий

График v'(t): синусоида с амплитудой aω; горизонтальные штриховые линии U и −U; заштрихованы малые интервалы вблизи нулей синусоиды шириной τ и 2τ.

\begin{cases} v_1 > 0 \\ v_2 > 0 \end{cases}, \qquad \begin{cases} a\omega\sin\omega t > -U \\ a\omega\sin\omega t < U \end{cases}.

Изобразим график $v_1(t)$ и отметим те интервалы, в которых выполняется (4) (на рис. заштрихованы).

Так как $U$ мало по сравнению с $a\omega$ , то интервал $\tau$ также мал по сравнению с периодом колебаний. Поэтому можно считать $\sin\omega\tau \approx \omega\tau$ , тогда из (4) получим $a\omega^2\tau = U$ , откуда

\tau = \frac{U}{a\omega^2}.

За время одного периода колебаний $T = \frac{2\pi}{\omega}$ , в течение интервала времени $4\tau$ сила трения равна $\mu mg\cos\alpha$ , а в остальные моменты она равна нулю. Следовательно, средняя сила трения

F_{ср.} = \mu mg\cos\alpha\frac{4\tau}{T} \approx \frac{2U}{\pi a\omega}\mu mg.

(здесь учтена малость $\alpha$ , тогда $\cos\alpha \approx 1$ ).

При установившемся движении эта сила равна проекции силы тяжести на наклонную плоскость :

mg\sin\alpha = \frac{2U}{\pi a\omega}\mu mg.

Откуда следует (с учетом $\sin\alpha \approx \alpha$ )

U = \frac{\pi a\omega\sin\alpha}{2\mu} \approx \frac{\pi a\omega\alpha}{2\mu}.

Подстановка численных значений приводим к результату

U \approx 0{,}25\text{см}/\text{с}.

Как и следовало ожидать $U \ll a\omega$ , поэтому сделанное ранее приближения вполне обоснованы.

Оригинал в Архива: 1994problems.pdf · официални решения: 1994solutions.pdf