Съдържание

BelPhO 1994, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1994

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Барановичи, 1994 г.)

Условие

В установке, показанной на рисунке, массы грузов одинаковы и равны $m$ , жесткость пружины $k$ . Трения нет, нить и блок невесомы. В начальный момент времени грузы покоятся, пружина не деформирована. Грузы отпускают. Найдите пределы изменения ускорения грузов и их максимальную скорость.

Груз m на горизонтальном столе прикреплен пружиной жесткости k к стене слева и нитью через блок на краю стола к висящему грузу m; вектор g вниз.

Отговори

Решение

Пусть грузы сместятся на расстояние $x$ . На основании второго закона Ньютона можно записать

Та же установка с силами: сила упругости F_упр. влево и натяжение T вправо на грузе на столе; на висящем грузе натяжение T вверх и сила тяжести mg вниз.

\begin{cases} ma = mg - T, \\ ma = -T - kx, \end{cases} \qquad (1)

где $T$ – натяжение нити, $-kx$ – сила упругости пружины. Исключая из системы (1) величину $T$ получим

a = \frac{g}{2} - \frac{k}{2m}x. \qquad (2)

Запишем также уравнение закона сохранения энергии

mgx = 2\frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}. \qquad (3)

Из (3) найдем экстремальные смещения грузов (когда $v = 0$ )

x_0 = 0, \qquad x_1 = 2\frac{mg}{k}. \qquad (4)

Из уравнения (2) следует, что ускорения грузов линейно зависят от их смещения, следовательно, пределы изменения ускорения соответствуют предельным значениям $x$ ,

a_0 = \frac{g}{2}, \quad a_1 = -\frac{g}{2}. \qquad (5)

Скорость грузов максимальна, когда их ускорение равно нулю, т.е. при $x = \frac{mg}{k}$ , из (3) находим

v_{max} = \sqrt{\frac{m}{2k}}g \qquad (6)

Укажем еще один способ решения. Уравнение (2) есть уравнение гармонических колебаний с частотой

\omega = \sqrt{\frac{k}{2m}}.

Положению равновесия соответствует координата

x = \frac{mg}{k},

учитывая, что начальное положение есть $x = 0$ , можно сказать, что амплитуда колебаний грузов

A = \frac{mg}{k}.

Тогда максимальная скорость

v_{max} = A\omega = \frac{mg}{k}\sqrt{\frac{k}{2m}} = g\sqrt{\frac{m}{2k}};

максимальное ускорение

a_{max} = A\omega^2 = \frac{mg}{k} \cdot \frac{k}{2m} = \frac{g}{2}.

Оригинал в Архива: 1994problems.pdf · официални решения: 1994solutions.pdf