BelPhO 1994, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1

• $\tau = \varepsilon_0\rho$

Воспользуемся законом Ома в дифференциальной форме и запишем плотность тока у поверхности шарика

где $E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}$ — напряженность электрического поля у поверхности шарика, $q$ — его заряд, $R$— радиус.

Сила тока, стекающего с шарика,

где $S = 4\pi R^2$ – площадь поверхности шарика.

Сила тока — есть скорость изменения заряда шарика $\frac{\Delta q}{\Delta t}$. Как следует из (2), сила тока не является постоянной, а зависит от заряда шарика. Однако, для получения оценки времени исчезновения заряда, можно положить ее постоянной и равной $I_0 = \frac{q_0}{\varepsilon_0\rho}$, где $q_0$— начальный заряд шарика. Тогда время разряда оценивается по формуле

Отметим, что эта оценка впервые получена Дж.К.Максвеллом и носит название максвелловское время релаксации. Можно показать, что за это время заряд уменьшается в $e = 2.71828\ldots$ раз.