BelPhO 1994, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

• 2540 s

  В решении: $\tau \approx 2540\ \text{с} \approx 40$ мин.

При движении вагона внутри туннеля сила тяжести вагона будет изменяться при изменении расстояния до центра Земли. Найдем ускорение свободного падения $g$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ до центра Земли. Слои, находящиеся на большем расстоянии от центра не будут вносить вклад в величину силы тяжести. Поэтому по закону всемирного тяготения

где $\rho$ — средняя плотность Земли, $G$ — гравитационная постоянная. Учитывая, что на поверхности Земли ускорение свободного падения равно $g_0 = 9{,}8\ \text{м}/\text{с}^2$, из (1) можно записать

где $R$ — радиус Земли.

Пусть ось $X$ направлена вдоль туннеля, начало отсчета совместим с его центром. Тогда в точке А, находящейся на расстоянии $r = |AC|$ от центра Земли, ускорение вагона может быть найдено из второго закона Ньютона

учитывая (1), получим

где $x = r\sin\alpha$ координата точки $A$. (4) есть уравнение гармонических колебаний, с круговой частотой

Время движения в одну сторону $\tau$ равно половине периода колебаний, т.е.

Интересно заметить, что это время остается одним и тем же для любых точек, находящихся на поверхности Земли и соединенных прямым туннелем.