BelPhO 1994, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3

• 10 m

Так как площадь поперечного сечения трубы $S$ постоянна, то объем воздуха под поршнем пропорционален длине воздушного столба $x$, давление пропорционально расстоянию до поверхности воды. Считая процесс расширения изотермическим, из закона Бойля-Мариотта можно записать

где $\rho gh$ — давление воздуха при горизонтальном положении трубы, $\rho g(h - x)$ — давление воды на поршень, когда труба поднята вертикально. Уравнение (1) перепишем в виде

Его корни

Подстановка численных значений приводит к результату $x_1 = 10\text{м}$, $x_2 = 90\text{м}$.

Второй корень $x_2 > l$, где $l$ — длина трубы. Однако отбросить его по этой причине нельзя: его можно интерпретировать таким образом, что поршень выскочит из трубы.

Тем не менее при медленном поднятии трубы поршень будет медленно смещаться от положения $x_0$ до положения $x_1 = 10\text{м}$, не достигая второго положения равновесия $x_2 = 90\text{м}$.

Для более убедительного анализа построим графики зависимостей давления воздуха в трубе $\left(p_1 = \frac{h_0x_0}{x}\right)$ и гидростатического давления воды $(p_2 = h - x)$ в зависимости от $x$ при вертикальном положении трубы ( здесь $p_1$ и $p_2$ измеряются в метрах водяного столба (рис.а)).

Положениям равновесия соответствует условие $p_1 = p_2$. Легко показать, что точка $x_1$ — есть точка устойчивого, а $x_2$- неустойчивого равновесия. Следовательно, при смещении положения равновесия $x_1$ при подъеме трубы поршень будет все время стремится за этим положением равновесия. Действительно, пусть труба образует угол $\alpha$ с горизонтом, в этом случае гидростатическое давление $p_2 = h - x\sin\alpha$. Изобразим эти зависимости при разных $\alpha$ (рис.б). Видно, что положение устойчивого равновесия медленно и монотонно смещается от $x_1$ до $x_1'$, поэтому поршень никак не сможет приблизиться ко второму положению равновесия $x_2$.

Интересно отметить, что при $x_0 > \frac{h}{4}$ уравнение (2) не имеет ни одного действительного корня – это значит, что в этом случае воздух обязательно вытолкнет поршень! Запишем условие равновесия поршня при произвольном угле наклона трубы $\alpha$

Отсюда находим

При $\alpha$ стремящимся к нулю, корень $x_1$ стремится к $x_0$, а $x_2$ «убегает» на бесконечность. При возрастании $\alpha$ устойчивый корень $x_1$ возрастает, а неустойчивый $x_2$ уменьшается. При некотором $\alpha^*$ (таком, что $h^2 - 4hx_0\sin\alpha^* = 0$) оба корня «сливаются» – поршень становится неустойчивым и вылетает из трубы (рис.в).