BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-1

• $v_{\text{ср}} = \frac{a_0\tau}{2}$

Площадь под графиком зависимости $a\left(t\right)$ численно равна изменению скорости. Учитывая, что при $t = 0,\ v = 0,$ заметим, что скорость максимальна при $t = 2\tau$ $\left(v_{max} = a_0\tau\right)$ и уменьшается до $v = 0$ при $t = 4\tau$ (т.е. точка $4\tau$ в тех же условиях, что и $\tau = 0$). Следовательно, достаточно вычислить $v_{\text{ср}}$ за время $4\tau$. Построив зависимость $v\left(t\right)$ (четыре участка параболы), видим, что площадь под кривой $v\left(t\right)$ численно равна $S = \frac{1}{2}4\tau a_0\tau = 2a_0\tau^2$ (можно легко подсчитать как площадь треугольника, обозначенного пунктиром).

Итого: