Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

Из куска меди массой $4{,}5\,\text{кг}$ выплавили прямоугольный параллелепипед, который использовали в качестве нагревательного элемента с источником постоянного напряжения. Тепловые мощности при различном подключении проводника относятся друг к другу как $1:2:8$ . Определите размеры проводника, если плотность меди $\rho = 9{,}0 \cdot 10^3\ \text{кг}/\text{м}^3$ . Подключение проводника осуществлялось с помощью широких шин, прижимаемых к взаимно противоположным граням параллелепипеда. Краевые эффекты растекания тока не учитывать.

Отговори

Решение

Внешний вид нагревательного элемента приведен на рисунке. Мощность тепловыделения не резисторе

Прямоугольный параллелепипед (нагревательный элемент) с ребрами a, b, c.

P = U^2/R,

где его сопротивление

R = \rho_{\text{эл.}}\frac{l}{S}.

Здесь $\rho_{\text{эл.}}$ – удельное сопротивление меди, $l$ – длина проводника, $S$ – площадь поперечного сечения. Имеем три различных варианта подключения. Пусть для определенности $a > b > c$ . Тогда

P_1 = P_a = \frac{U^2}{\rho_{\text{эл.}}\, a/bc} = \frac{U^2 bc}{\rho_{\text{эл.}} a},\ P_2 = P_b = \frac{U^2 ac}{\rho_{\text{эл.}} b},\ P_3 = P_c = \frac{U^2 ab}{\rho_{\text{эл.}} c},

причем

P_1 : P_2 = \frac{U^2 bc}{\rho_{\text{эл.}} a} : \frac{U^2 ac}{\rho_{\text{эл.}} b} = \frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{2},\ a = \sqrt{2}\,b,

P_2 : P_3 = \frac{c^2}{b^2} = \frac{1}{4},\ b = 2c.

С другой стороны, нам известен объем всего куска меди

V = abc = \sqrt{2}\,2^2 c^3 = m/\rho.

Теперь несложно найти размеры всех сторон

c = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}\,m}{8\rho}} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}\cdot 4{,}5}{8\cdot 9\cdot 10^3}} \approx 4{,}5\,\text{см},\ b = 2c = 9{,}0\ \text{см},\ a\sqrt{2}\,b \approx 12{,}6\ \text{см}.

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf