Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

Брусок массой $m_0 = 1{,}0\,\text{кг}$ , изготовленный из материала, удельная теплоемкость которого зависит от температуры $t$ по закону $c(t) = c_0(1 + \alpha t)$ , где $c_0 = 1{,}3 \cdot 10^3\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ , $\alpha = 0{,}012\,\text{К}^{-1}$ , опускают в калориметр. Начальная температура бруска $t = 0{,}0^{0}C$ . В калориметре находится $m_1 = 0{,}50\,\text{кг}$ воды при температуре $t = 45^{0}C$ . Найти установившуюся температуру воды в калориметре. Теплоемкостью калориметра и тепловыми потерями пренебречь. Удельная теплоемкость воды $c_1 = 4{,}2 \cdot 10^3\ \text{Дж}/(\text{кг}\cdot\text{К})$ .

Отговори

Решение

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Горячая вода отдает

Q_{\text{отд.}} = m_1 c_1\left(t_1 - \theta\right) \qquad (1)

теплоты, где $\theta$ – окончательная температура в калориметре. Это количество теплоты передается бруску, специфическое свойство которого – зависимость теплоемкости от температуры $C(t)$ , усложняет процедуру расчета. Площадь под графиком зависимости $C(t)$ равна

График зависимости теплоемкости C от температуры t°: прямая от C₀ до C₁ при t = θ; заштрихована трапеция O θ C₁ C₀ под графиком.

S_{O\theta C_1 C_0} = \sum_i C\left(t_i\right)\Delta t_i,

где $i$ – определяет номер участка разбиения. С другой стороны, полученное количество теплоты

Q_{\text{пол.}} = \sum_i C\left(t_i\right)\Delta t_i m_0 = m_0\sum_i C\left(t_i\right)\Delta t_i.

Таким образом,

Q_{\text{пол.}} = m_0 S_{O\theta C_1 C_0}.

Площадь $S_{O\theta C_1 C_2}$ найдем как площадь трапеции

S_{O\theta C_1 C_2} = \frac{C_0 + C_1}{2}\cdot\theta = \frac{C_0 + C_0\left(1 + \alpha\theta\right)}{2}\theta = C_0\theta + \frac{\alpha C_0\theta^2}{2}

и, следовательно,

Q_{\text{пол.}} = m_0 C_0\left(\theta + \frac{\alpha\theta^2}{2}\right). \qquad (2)

Приравнивая (1) и (2), получаем квадратное уравнение относительно $\theta$ .

m_0 C_0\frac{\alpha}{2}\theta^2 + m_0 C_0\theta = m_1 C_1 t_1 - m_1 C_1\theta.

В приведенном виде

\theta^2 + \frac{2\left(m_0 C_0 + m_1 C_1\right)}{\alpha m_0 C_0} - \frac{2 m_1 C_1 t_1}{\alpha m_0 C_0} = 0.

Это уравнение в числах

\theta^2 + 436\,\theta - 12115 = 0

имеет один из корней

\theta \approx 26\ {}^{o}C.

Второй корень физического смысла не имеет, он появился как следствие неоправданного использования формулы (2) в области $\theta < 0$ .

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf