Съдържание

BelPhO 1995, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1995

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Лида, 1995 г.)

Условие

Открытая снизу толстостенная цилиндрическая бочка массой $M$ и радиусом $R$ установлена вверх дном вертикально на земле. Внутри бочки на ее оси, на расстоянии $h$ от поверхности земли разорвался на множество мелких одинаковых осколков заряд массой $m$ . Считая, что все осколки после разрыва имели одинаковую скорость, разлетелись во все стороны равномерно и затем застряли в стенках бочки или ушли в землю, определите, на какую высоту подпрыгнула бочка. Энергия $E$ , выделившаяся при взрыве, полностью перешла в кинетическую энергию осколков. Изменением давления газа при взрыве пренебречь, сопротивление воздуха не учитывать.

Цилиндрическая бочка радиусом R, внутри на оси на высоте h над землей — взрыв заряда (разлетающиеся осколки).

Отговори

Решение

Подсчитаем импульс осколков, ушедших в землю – такой же по величине и противоположный по направлению импульс получит и бочка.

Бочка, вписанная в сферу Ω с центром в точке взрыва C на высоте h над основанием радиусом R.

Проведем сферу $\Omega$ с центром в точке взрыва $C$ , опирающуюся на основание цилиндра. Пусть число осколков на единицу площади сферы $n$ . Тогда:

p = \sum_i n\Delta S_i m_0 v\cos\theta_i, \qquad (1)

где $m_0$ – масса одного осколка, $v$ – его скорость, $\Delta S_i$ – площадь небольшого участка сферы, $\theta_i$ – соответствующий угол между осью бочки и $\vec p_i$ . Но $\Delta S_i\cos\theta_i$ – величина проекции площади сегмента сферы на основание бочки, тогда сумму (1) легко вычислить:

p = nm_0 v\sum_i \Delta S_i\cos\theta_i = nm_0 v\pi R^2. \qquad (2)

Далее: $n = \dfrac{N}{4\pi\left(R^2 + h^2\right)}$ ,

Nm_0 = m \Rightarrow \frac{Nm_0 v^2}{2} = E,\ v = \sqrt{\frac{2E}{m}},

и (2) принимает вид:

p = \frac{N}{4\pi\left(R^2 + h^2\right)}m_0\sqrt{\frac{2E}{m}}\pi R^2 = MV,

Нижняя полусфера с центром C: малый участок ΔSᵢ, его проекция ΔSᵢ cos θᵢ на основание, угол θᵢ между осью и скоростью осколка v.

где $V$ – скорость бочки после взрыва. Зная начальную скорость бочки, легко найти высоту ее подъема:

H = \frac{V^2}{2g} = \frac{p^2}{2M^2 g} = \frac{Em}{16M^2\left(1 + \dfrac{h^2}{R^2}\right)^2 g}.

Заметим, что при решении мы не учитывали изменения импульсов осколков за время полета в поле силы тяжести ( $mg\tau \ll mv$ ) и приняли, что все осколки достигают поверхности бочки одновременно. Кроме того, неявно предполагается, что $m \ll M$ .

Оригинал в Архива: 1995problems.pdf · официални решения: 1995solutions.pdf