Съдържание

BelPhO 1996, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 11-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1996

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск, 1996 г.)

Условие

Длинная невесомая нерастяжимая нить переброшена через два маленьких невесомых блока, оси которых жестко закреплены. К концам нити привязаны одинаковые грузы. К середине нити прикрепили еще один такой же груз и без толчка отпустили. Определите ускорение этого груза в тот момент, когда нить в точке подвеса изогнулась под прямым углом. Сопротивлением воздуха и трением пренебречь.

Два блока под потолком, через них перекинута горизонтальная нить с грузами m на концах; к середине нити подвешен третий груз m; справа стрелка g.

Отговори

Решение

Обозначим расстояние между блоками $2l.$ Запишем уравнения второго закона Ньютона для двух грузов

Три груза: боковые на нитях через блоки (точка O у левого блока) с силами T, mg и ускорениями a0 вверх; центральный груз на изогнутой под прямым углом нити с силами T, mg и ускорением a1.

\begin{aligned} T - mg &= ma_0, \\ mg - T\sqrt{2} &= ma_1. \end{aligned} \qquad (1)

(Чтобы не усложнять формулы мы сразу учитываем, что нить изогнута под прямым углом).

Установим связь между величинами ускорений грузов $a_0$ и $a_1$ . Представим движение центрального груза как суперпозицию двух движений: вращения вокруг точки О со скоростью $\vec v'_1$ направленной перпендикулярно нити; увеличение радиуса вращения со скоростью $\vec v''_1$ , направленной вдоль нити.

Разложение скорости центрального груза: v1 вертикально вниз как сумма v′1 (перпендикулярно нити) и v″1 (вдоль нити).

Очевидно, что $\left|\vec v''_1\right| = v_0$ — скорости бокового груза.

Так как, сумма скоростей $\vec v''_1$ и $\vec v'_1$ направлена вертикально вниз (это скорость груза $\vec v_1$ ), то $\left|\vec v'_1\right| = \left|\vec v''_1\right| = v_0$ и

v_1 = v_0\sqrt{2}. \qquad (2)

Согласно разложению движения на составляющие, разложим и ускорение центрального груза.

Разложение ускорения центрального груза: a1 вниз, составляющие a1c и a″1 вдоль нити и a1τ перпендикулярно нити.

Вращательному движению соответствует центростремительное ускорение $\vec a_{1c}$ , направленное вдоль нити (равное $\frac{v_0^2}{l\sqrt{2}}$ ), и тангенциальное $\vec a_{1\tau}$ , направленное перпендикулярно нити. Увеличению длины нити соответствует ускорение $\vec a''_1$ , направленное вдоль нити и равное по модулю $a_0$ — ускорению бокового груза. Следовательно, модуль полного ускорения

a_1 = \left(a_0 - \frac{v_0^2}{l\sqrt{2}}\right)\sqrt{2}. \qquad (3)

Заметим, что эти же соотношения между скоростями и ускорениями грузов можно получить с помощью операции дифференцирования.

Запишем закон сохранения энергии для того, чтобы выразить скорость центрального груза

2\frac{mv_0^2}{2} + \frac{mv_1^2}{2} = mgl - 2mgl\left(\sqrt{2} - 1\right). \qquad (4)

Решая совместно (2)-(4) можно найти $a_1 = -\frac{g}{4},$ то есть ускорение направленно вверх.

Оригинал в Архива: 1996problems.pdf · официални решения: 1996solutions.pdf