Съдържание

BelPhO 1996, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1996

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск, 1996 г.)

Условие

Однородная балка массой $M$ и длиной $L$ движется по наклонному прокатному стану, представляющему собой шероховатые тонкостенные несоприкасающиеся цилиндры, оси которых параллельны и находятся на расстоянии $l$ друг от друга $(l \ll L)$ . Масса каждого цилиндра $m$ . Определите установившуюся скорость движения балки по стану. Угол наклона стана к горизонту $\alpha$ .

Наклонный ряд цилиндров под углом α к горизонту, расстояние между осями l; по ним вниз движется балка со скоростью V; справа стрелка g.

Отговори

Решение

Поскольку цилиндры шероховатые, то при движении балки раскручиваются цилиндры, находящейся под ней, на что расходуется потенциальная энергия опускающейся балки. В идеализированном варианте после прохождения балки будут вращаться все цилиндры прокатного стана. Это обстоятельство и приводит к тому, что в конце концов движение станет равномерным.

Для решения задачи воспользуемся энергетическими соображениями. Пусть искомая скорость $v$ . За время $\tau$ $\left(\tau \gg \frac{l}{v}\right)$ балка пройдет по стану путь $S = v\tau,$ при этом освободится потенциальная энергия

E^n = Mgv\tau\sin\alpha. \qquad (1)

При этом раскручивается до прекращения проскальзывания $N = \frac{v\tau}{l}$ новых цилиндров, кинетическая энергия которых

E^k = N\frac{1}{2}mv^2. \qquad (2)

При записи (1) учтено, что цилиндры тонкостенные и все точки цилиндров имеют одинаковую скорость. Для корректного решения задачи необходимо учесть неизбежное выделение теплоты при проскальзывании и трении балки о цилиндры. Для вычисления этой энергии заметим, что (2) аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки, поэтому рассмотрим шайбу массы $m$ аккуратно, (т. е. без начальной скорости) положенную на шероховатую горизонтальную ленту транспортера, движущуюся со скоростью $v$ . Под действием трения скольжения шайба начнет набирать скорость с ускорением $a = \mu g,$ а через время $\tau^* = \frac{v}{\mu g}$ трение скольжения исчезнет.

При этом выделиться теплота:

Q = \sum_i F_{\text{тр}}v_i\,\Delta t_i = F_{\text{тр}}\sum_i v_i\,\Delta t_i = \{v = at\} = F_{\text{тр}}\frac{v}{2}\tau^*. \qquad (3)

С другой стороны, согласно основному закону динамики в импульсной форме:

mv = F_{\text{тр}}\tau^*. \qquad (4)

Из (3)-(4) легко находим:

Q = \frac{1}{2}mv^2.

Таким образом мы показали, что при разгоне трением скольжения, энергетические (тепловые) потери равны кинетической энергии тела в конечном состоянии, т. е. пренебрегать ими нельзя. Возвращаясь к цилиндрам, заметим, что все вышесказанное будет справедливо, если балка достаточно длинна, т. е. иначе $\tau^* < \frac{L}{v}$ (чтобы проскальзывание успело исчезнуть). На рисунке раскрученные цилиндры заштрихованы, а раскручивающиеся — нет.

Балка на наклонном ряду цилиндров под углом α: цилиндры, уже пройденные балкой, заштрихованы, остальные — нет; скорость V, расстояние l.

С учетом изложенного баланс энергий запишется в виде

E^n = E^k + Q = 2E^k = mv^2N. \qquad (5)

Mgv\tau\sin\alpha = \frac{v\tau}{l}mv^2. \qquad (6)

Откуда

v^2 = gl\frac{M}{m}\sin\alpha \Rightarrow v = \sqrt{gl\frac{M}{m}\sin\alpha}. \qquad (7)

Оригинал в Архива: 1996problems.pdf · официални решения: 1996solutions.pdf