Съдържание

BelPhO 1996, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1996

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Витебск, 1996 г.)

Условие

На горизонтальной плоскости покоится тонкостенная коробка в форме куба с ребром $a = 1{,}0\,\text{м}$ , изготовленная из упругого материала. В нее с высоты $h = 50\,\text{см}$ аккуратно без начальной скорости высыпают $N = 1000$ маленьких одинаковых упругих шариков массой $m = 5{,}0\,\text{г}$ каждый. Определите среднее давление хаотически прыгающих шариков на дно коробки.

Коробка с шариками на горизонтальной плоскости; ширина коробки a, высота h; справа стрелка g.

Отговори

Решение

Будем считать, что хаотически прыгающие шарики движутся вертикально.

Столкновения можно не принимать во внимание, так как они не изменяют распределение скоростей шариков. Рассмотрим систему за время $\tau,$ равное времени полета некоторого фиксированного шарика

\tau = 2\sqrt{\frac{2h}{g}} = 0{,}639\,\text{с}. \qquad (1)

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме,учитывая, что за время $\tau$ соударения с дном испытывают все шарики системы. Импульс шарика у дна:

P = m\sqrt{2gh} \qquad (2)

Изменение импульса системы за время $\tau$

\Delta P = N\cdot 2P = 2Nm\sqrt{2gh} \qquad (3)

Тогда искомое среднее давление определим из равенства

P_{\text{ср}}a^2\tau = \Delta P \Rightarrow P_{\text{ср}} = \frac{\Delta P}{a^2\tau} = \frac{Nmg}{a^2} = 49\ \text{Па} \qquad (4)

Приведем более изящный способ решения этой задачи. Так как в среднем положение центра масс всех шариков не изменяется, то сумма внешних сил, действующих на все шарики равна нулю. Такими внешними силами являются сила тяжести $Nmg$ и сила реакции дна сосуда, которая по третьему закону Ньютона равна силе давления (естественно, средней) шариков на дно $Pa^2$ , приравнивая эти выражения сразу получим окончательный результат (4).

Оригинал в Архива: 1996problems.pdf · официални решения: 1996solutions.pdf