Съдържание

BelPhO 1997, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1997

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Могилев, 1997 г.)

Условие

Небольшая бусинка начинает скользить по спирали радиусом $R$ , ось которой вертикальна. Определите величину скорости установившегося движения бусинки, если коэффициент ее трения о спираль равен $\mu$ . Шаг спирали $h$ .

Вертикальная спираль (винтовая линия) с осью, показанной штрихпунктиром; бусинка на верхнем витке, радиус спирали обозначен R, шаг между витками — H; справа стрелка вниз с подписью g.

Отговори

Решение

Мы имеем типичный пример системы, самостоятельно приходящей в состояние динамического равновесия. Вначале бусинка разгоняется, растет скорость, а вместе с ней и сила реакции опоры $\vec N$ , направленная перпендикулярно касательной к участку спирали, следовательно, возрастает и сила трения $\vec F$ , направленная вдоль касательной к траектории в сторону противоположную скорости, причем модуль этой силы определяется известным законом $F = \mu N$ . Через определенное время бусинка будет двигаться с установившейся скоростью . Опустившись на один виток, бусинка расходует запас потенциальной энергии на работу против сил трения (кинетическая энергия при этом больше не меняется)

mgH = FS = \mu N\sqrt{4\pi^2R^2 + H^2}, \qquad (1)

где $S = \sqrt{4\pi^2R^2 + H^2}$ - длина одного витка спирали.
Разложим силу реакции $\vec N$ на две составляющие : $N_1 = mg\cos\alpha$ - в вертикальной плоскости П, касательной к участку спирали, и $N_2 = \dfrac{m(v\cos\alpha)^2}{R}$ - в горизонтальной плоскости. Выражения для этих компонент получены из следующих рассуждений: в вертикальном направлении движение бусинки является равномерным со скоростью $v\sin\alpha$ , следовательно в проекции на любую ось, лежащую в вертикальной плоскости, касательной к траектории сумма всех проекций сил, действующих на бусинку, равна нулю; в горизонтальной плоскости движение бусинки является равномерным движением по окружности радиуса $R$ со скоростью $v\cos\alpha$ , следовательно, бусинка движется с центростремительным ускорением, которое ей сообщает компонента силы реакции $N_2$ . Таким образом, модуль силы реакции определяется выражением

N = \sqrt{N_1^2 + N_2^2} = \sqrt{m^2g^2\cos^2\alpha + \frac{m^2v^4\cos^4\alpha}{R^2}}. \qquad (2)

В этих выражениях $\alpha$ - угол между касательной к траектории и спиралью. Из простых геометрических построений находим

tg\alpha = \frac{H}{2\pi R},\ \cos\alpha = \frac{1}{1 + tg^2\alpha} = \frac{4\pi\ R^2}{4\pi^2R^2 + H^2}. \qquad (3)

Подставляя полученные выражения в (1), получаем уравнение относительно скорости $v$

\frac{g^2H^2}{\mu^2} = 4\pi^2R^2g^2 + \frac{16v^4\pi^4R^2}{4\pi^2R^2 + H^2}.

Разрешая уравнение, находим искомую скорость установившегося движения бусинки

v = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{R}}\sqrt[4]{\left(4\pi^2R^2 + H^2\right)\left(\frac{H^2}{\mu^2} - 4\pi^2R^2\right)}.

Слева: участок спирали с бусинкой и вертикальная касательная плоскость П; показаны векторы N, N1, N2, F_тр. и mg, угол α между N1 и вертикалью. Справа: та же плоскость П в рамке — векторы N1, F_тр. и mg, наклонная касательная к спирали под углом α к горизонтали.

Оригинал в Архива: 1997problems.pdf · официални решения: 1997solutions.pdf