Съдържание

BelPhO 1997, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1997

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Могилев, 1997 г.)

Условие

Два камешка брошены с высокой башни под углом $\alpha > 0$ к горизонту со скоростью $v_0$ с интервалом времени $\Delta t$ один за другим. Определите наименьшее расстояние между ними в течение полета и момент времени, когда это произойдет. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Отговори

Решение

Выберем начало системы отсчета на башне, задачу будем решать в векторном виде. К моменту вылета второго камешка первый совершит перемещение

\Delta\vec r_0 = \vec v_0\Delta t + \frac{\vec g\Delta t^2}{2}

и будет двигаться со скоростью

\vec v = \vec v_0 + \vec g\Delta t.

Перемещения камешков после бросания второго камешка запишутся следующим образом

\Delta\vec r_1(t) = \vec v_0(t + \Delta t) + \frac{\vec g(t + \Delta t)^2}{2},

\Delta\vec r_2(t) = \vec v_0 t + \frac{\vec g t^2}{2}.

Перейдем в систему отсчета, связанную со вторым камешком. Тогда относительное положение первого камешка задается вектором

\vec S = \Delta\vec r_1(t) - \Delta\vec r_2(t) = \vec v_0\Delta t + \frac{\vec g\Delta t^2}{2} + \vec g\Delta t\cdot t = \Delta\vec r_0 + \vec g\Delta t\cdot t,

т.е. это движение вертикально вниз со скоростью $\vec g\Delta t$ . Поэтому

1)если $\Delta t$ таково, что первый камушек не успел опуститься ниже горизонта точки бросания (точка А $_1$ ), тогда наименьшее расстояние будет равно

CB_1 = (\Delta\vec r_0)_x = \left(\vec v_0\Delta t + \frac{\vec g\Delta t^2}{2}\right)_x = v_0\cos\alpha\Delta t. \qquad (1)

Оно будет достигнуто в момент, когда оба шарика будут на одной высоте, т.е.

S_y = 0 = (\Delta\vec r_0)_y - g\Delta t\cdot t = v_0\sin\alpha\Delta t - \frac{g\Delta t^2}{2} - g\Delta t\cdot t,\quad t = \frac{v_0\sin\alpha}{g} - \frac{\Delta t}{2} \qquad (2).

2)если $\Delta t$ таково, что первый камушек опустился ниже горизонта бросания (А $_2$ ), наименьшим расстоянием будет начальное, т.е.

OA_2 = |\Delta\vec r_0| = \sqrt{(v_0\cos\alpha\Delta t)^2 + \left(v_0\sin\alpha\Delta t - \frac{g\Delta t^2}{2}\right)^2}, \qquad (3)

а момент времени $t = 0.$ (4)

Координатные оси X и Y с началом O на вертикальной стене башни (штриховка); из O выходит вектор v0 под углом к горизонту, параболическая траектория; отмечены точки A1 (выше оси X) и A2 (ниже), точка B1 на оси X под A1, векторы OA1 и OA2.

Условие выбора ответа следует из (2): если $\Delta t > \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$ , то ответ - (3),(4), если $\Delta t < \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$ , то - (1),(2).

Оригинал в Архива: 1997problems.pdf · официални решения: 1997solutions.pdf