Съдържание

BelPhO 1997, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 1997

Белорусская республиканская олимпиада по физике (Могилев, 1997 г.)

Условие

К цепи, состоящей из источника постоянного напряжения $U_0$ и $N$ одинаковых резисторов сопротивлением $R$ подвешены $(N + 1)$ одинаковых проводящих шариков радиусом $r$ (считать расстояние между шарами значительно большими их радиусов). На сколько изменится суммарный заряд всех шариков, если замкнуть ключ?

Схема: источник U0 вверху; внизу цепочка из резисторов R, соединённых последовательно (многоточие между ними), затем ключ и заземление справа; к каждому узлу подвешен шарик.

Отговори

Решение

Как следует из схемы цепи до замыкания ключа потенциалы всех шариков относительно бесконечности или относительно заземленной положительной пластины источника питания одинаковы и равны

\varphi_1 = \varphi_2 = \ldots = \varphi_{N+1} = -U_0 \qquad (1)

Учитывая, что емкость уединенного шара $C = 4\pi\varepsilon_0 R$ (по условию можем считать каждый шарик уединенным), для заряда системы получаем

Q = \sum_{i=1}^{N+1} Q_i = \sum_{i=1}^{N+1}(4\pi\varepsilon_0 r\varphi_i) = 4\pi\varepsilon_0 r\sum_{i=1}^{N+1}\varphi_i = -4\pi\varepsilon_0 rU_0(N + 1). \qquad (2)

После замыкания цепи распределение потенциалов изменится в соответствии с законом Ома. Действительно, ток в цепи

I = \frac{U_0}{NR} \qquad (3)

Соответственно, падение напряжения на каждом резисторе

U_1 = IR = \frac{U_0}{N} \qquad (4)

Из (4) следует, что потенциалы шариков будут возрастать на $U_1$ при переходе через каждый резистор

-U_0; -U_0 + U_0 / N; -U_0 + 2U_0 / N; \ldots -U_0 / N; 0

Соответственно, новый заряд

Q^* = \sum_{i=1}^{N+1}(4\pi\varepsilon_0 r\varphi_i) = -4\pi\varepsilon_0 r\sum_{i=1}^{N+1}\frac{U_0}{N}(i - 1) = -4\pi\varepsilon_0 r\frac{U_0}{N}(1 + 2 + \ldots + N) = -2\pi\varepsilon_0 rU_0(N + 1)

Таким образом, искомый заряд изменился на

\Delta Q = Q^* - Q = 2\pi\varepsilon_0 rU_0(N + 1) \qquad (5)

Как следует из (5) суммарный заряд всех шариков возрастет (но уменьшится по абсолютной величине), что легко объяснить, если принять во внимание что потенциалы всех шариков за исключением крайнего слева при замыкании ключа возрастут.

Та же схема, что и в условии: источник U0 вверху, цепочка резисторов R с многоточием, ключ, заземление справа, к каждому узлу подвешен шарик.

Оригинал в Архива: 1997problems.pdf · официални решения: 1997solutions.pdf