BelPhO 1998, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-5

• $a = \frac{F}{m} - \frac{h}{L}g$

Рассмотрим силы, действующие на небольшой участок веревки длиной $\Delta l_i$ - сила тяжести $\Delta m_i\vec g$, и натяжения веревки с двух сторон от выделенного участка $\vec T_{1i}$ и $\vec T_{2i}$. Запишем уравнение второго закона Ньютона для выделенного кусочка в проекции на направление самого участка (на рисунке обозначена ось $x$):

Выразим массу кусочка $\Delta m_i = \frac{m}{L}\Delta l_i$ и подставим в полученное уравнение

где $a$ - ускорение веревки.

Просуммируем уравнения , относящиеся ко всем участкам веревки. Учтем, что силы натяжения отдельных участков встречаются дважды, причем с различными знаками, поэтому их сумма для всех внутренних участков обратится в нуль, останется только сила натяжения одного из концов веревки (то есть $F$). Очевидно, что сумма длин $\Delta l_i$ равна длине веревки $L$; величина $\Delta l_i\cos\alpha_i = \Delta h_i$ есть разность высот концов выделенного участка, поэтому сумма этих величин равна $h$. Таким образом, после суммирования получим

Откуда находим ускорение

Данная задача может быть также легко решена с использованием энергетического подхода. Пусть за время $\Delta t$ веревка сместилась на расстояние $\Delta x$, тогда сила $F$ совершила работу $A = F\Delta x$, которая пошла на увеличение кинетической $\Delta E_{\mathrm{кин.}} = \Delta\left(\frac{mv^2}{2}\right) = mv\Delta v$ и потенциальной энергии $\Delta E_{\mathrm{пот.}} = m\frac{\Delta x}{L}gh$ веревки.

Таким образом,

Разделим это уравнение на $\Delta t$ ( с учетом $\frac{\Delta x}{\Delta t} = v, \frac{\Delta v}{\Delta t} = a$) и сократим на $v$, получим

откуда следует ответ задачи.