Съдържание

BelPhO 2000, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Минская областная олимпиада школьников по физике 2000 год · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения в архиве есть только для задач 11 класса; для 10 и 9 классов решений нет.

Условие

Две шайбы массами $m$ и $2m$ , связанные невесомой нитью длиной $l$ лежат на гладкой горизонтальной поверхности так, что нить полностью растянута. Шайбе массой $m$ толчком сообщают скорость $V_0$ , направленную перпендикулярно нити. Запишите законы движения шайб в системе отсчета, показанной на рисунке. Изобразите примерно их траектории.

Система координат XY: шайба 2m в начале координат на оси X, над ней на оси Y на расстоянии l шайба m, у которой стрелкой показана скорость V0 вдоль оси X.

Отговори

Решение

Движение связанных шайб можно представить как суперпозицию поступательного равномерного движения центра масс и вращения вокруг оси, проходящей через центр масс. Координату центра масс $C$ найдем по формуле

y_C = \frac{ml}{m + 2m} = \frac{l}{3}, \qquad (1)

Скорость центра масс

V = \frac{mV_0}{3m} = \frac{V_0}{3}, \qquad (2)

а угловая скорость вращения

\omega = \frac{V_0}{l}. \qquad (3)

В таком представлении зависимости координат шайб от времени почти очевидны:

\begin{cases} x_1 = \frac{V_0}{3}t + \frac{2}{3}l\sin\frac{V_0}{l}t \\ y_1 = \frac{l}{3} + \frac{2}{3}l\cos\frac{V_0}{l}t \end{cases}; \quad \begin{cases} x_2 = \frac{V_0}{3}t - \frac{1}{3}l\sin\frac{V_0}{l}t \\ y_2 = \frac{l}{3} - \frac{1}{3}l\cos\frac{V_0}{l}t \end{cases}. \qquad (4)

Для построения траекторий можно нарисовать нескольких положений связанных шайб при изменении угла поворота, например на $45^{\circ}$ , и соединить их плавными линиями. Для этого удобно переписать уравнения движения в зависимости от угла поворота $\varphi = \frac{V_0}{l}t$ :

\begin{cases} x_1 = \frac{l}{3}(\varphi + 2\sin\varphi) \\ y_1 = \frac{l}{3}(1 + 2\cos\varphi) \end{cases}; \quad \begin{cases} x_2 = \frac{l}{3}(\varphi - \sin\varphi) \\ y_1 = \frac{l}{3}(1 - \cos\varphi) \end{cases}. \qquad (6)

Система координат XY с шайбами m и 2m на оси Y, центр масс C на расстоянии l/3 от шайбы 2m; повернутое положение нити под углом φ к вертикали с отрезками 2/3 l и 1/3 l от центра масс; скорость V0.

Результат построения показан на следующем рисунке

Последовательные положения связанных шайб при повороте на 45°: отрезки нити с закрашенными (шайба m) и светлыми (шайба 2m) кружками вдоль горизонтальной прямой движения центра масс.

Более эффектная картинка получится, если уменьшить шаг изменения угла поворота

Те же положения связанных шайб с меньшим шагом угла поворота: веер отрезков с закрашенными и светлыми кружками.

Траекториями движения являются две циклоиды, первая из которых - удлиненная.

Оси X и Y; две циклоиды: удлиненная циклоида с петлями ниже оси X и обычная циклоида из арок, а также горизонтальная прямая движения центра масс.

Схема оценивания.

Номер пункта	Содержание	баллы всего	в том числе за подпункты
1	Разложение движения на составляющие	2
2	Уравнения законов движения	5
	- положение центра масс		1
	- скорость центра масс		1
	- угловая скорость вращения		1
	- закон движения тела $m$		1
	- закон движения тела $2m$		1
3	Построение траекторий	3
	- метод построения		1
	- тела $m$		1
	- тела $2m$		1
	всего	10

Оригинал в Архива: 3_etap_2000_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2000_solutions.pdf