Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Автобус проехал первую треть пути со скоростью $v_1 = 50\ \mathrm{км/час}$ , а вторую - со скоростью $v_2 = 60\ \mathrm{км/час}$ . С какой скоростью ему нужно проехать оставшуюся часть пути, чтобы средняя скорость движения автобуса на всем маршруте была:

а) $v_{\mathrm{ср}}^{a} = 70\ \mathrm{км/час}$ ;

б) $v_{\mathrm{ср}}^{b} = 90\ \mathrm{км/час}$ ?

Отговори

Решение

9-1. По определению средней скорости

v_{\mathrm{ср}} = S/t, \qquad (1)

где $S$ - длина всего маршрута, $t$ - время его прохождения. Обозначим скорость автобуса на последней трети пути через $v_3$ . Тогда

t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S/3}{v_1} + \frac{S/3}{v_2} + \frac{S/3}{v_3}. \qquad (2)

Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем

v_{\mathrm{ср}} = \frac{S}{\frac{S/3}{v_1} + \frac{S/3}{v_2} + \frac{S/3}{v_3}}. \qquad (3)

Отсюда можно выразить искомую скорость

v_{\mathrm{ср}} = \frac{v_{\mathrm{ср}}v_1v_2}{3v_1v_2 - v_{\mathrm{ср}}(v_1 + v_2)}. \qquad (4)

Подставив в выражение (4) $v_{\mathrm{ср}}^{a} = 70\ \mathrm{км/ч}$ , получим ответ для первого пункта задачи

v_3^{a} = \frac{70\cdot 50\cdot 70}{3\cdot 50\cdot 70 - 70\cdot(50 + 70)} \approx 117(\mathrm{км/ч})

Полученное значение для скорости движения автобуса достаточное большое и, конечно же, противоречит правилам дорожного движения, поэтому реальному водителю лучше не гнаться за указанным средним.

Подставляя в формулу (4) $v_{\mathrm{ср}}^{b} = 90\ \mathrm{км/ч}$ , мы обнаруживаем, что

v_{\mathrm{ср}}^{b} = \frac{90\cdot 50\cdot 70}{3\cdot 50\cdot 70 - 90(50 + 70)} = -1050\ \mathrm{км/ч} < 0.

Результат явно противоречит здравому смыслу, так как автобус должен двигаться только вперед. Проанализируем выражение (4). Знаменатель обращается в нуль при

v_{\mathrm{ср}}^{*} = \frac{3v_1v_2}{v_1 + v_2} = 87{,}5\ \mathrm{км/ч}

При этом $v_3 \to \infty$ , т.е. это предельное значение средней скорости автобуса на всем маршруте, возможное при данных условиях движения. Даже мчась на последнем участке “со скоростью света”, водитель не сможет превысить значение $v_{\mathrm{ср}}^{*}$ . Таким образом, мы показали, что скорости движения автобуса на первых двух участках маршрута ограничивают максимальное значение его средней скорости на всем пути. Поскольку $v_{\mathrm{ср}}^{b} > v_{\mathrm{ср}}^{*}$ , то заданное в условии значение средней скорости не может быть достигнуто ни при каких значениях $v_3$ . Этот результат полезно знать водителям-лихачам – кратковременные рывки с большой скоростью не помогут достичь высокой средней скорости, если в пути будут хотя бы кратковременные остановки. Лучше двигаться с меньшей скоростью, но без остановок ( кстати, при этом не придется обгонять дважды одни и те же машины).

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf