Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Имеется теплоизолированный толстостенный цилиндрический стакан, толщина стен которого составляет 20% от его внешнего радиуса. Если стакан нагреть до $t_1 = 400^{0}C$ и полностью заполнить льдом, взятым при температуре плавления $t_0 = 0^{0}C$ , то, в конечном счете, весь лед растает. Во сколько раз нужно изменить толщину стенок стакана (при неизменном внешнем радиусе), чтобы, заполнив его полностью льдом при тех же начальных температурах льда и стакана мы смогли бы закипятить воду? Испарением и тепловыми потерями пренебречь. Удельная теплоемкость воды $c = 4{,}19\ \mathrm{Дж/кг\cdot К}$ , удельная теплота плавления льда $\lambda = 3{,}36\cdot 10^5\ \mathrm{Дж/кг}$ , температура кипения воды $t_2 = 100^{0}C$ .

Отговори

Решение

9-4. Пренебрегая теплоемкостью дна и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса для системы стакан-лед

V_1\rho_1c_1t_1 = V_2\rho\lambda, \qquad (1)

где $V_1 = \pi(R^2 - (R - h_1)^2)H$ - объем стенок стакана толщиной $h_1$ , $R$ и $H$ - его внешний радиус и высота, $\rho_1$ и $c_1$ - плотность и удельная теплоемкость вещества, из которого изготовлены стенки стакана, $V_2 = \pi(R - h_1)^2H$ - объем льда, $\rho$ - его плотность. Во втором случае (таяние льда и нагрев воды до температуры кипения) в стакане со стенками толщиной $h_2$ уравнение теплового баланса имеет вид

\pi(R^2 - (R - h_2)^2)H\rho_1c_1(t_1 - t_2) = \pi(R - h_2)^2H\rho(\lambda + ct_2). \qquad (2)

Разделим почленно уравнение (1) на (2)

\frac{R^2 - (R - h_1)^2}{R^2 - (R - h_2)^2}\cdot\frac{t_1}{t_1 - t_2} = \frac{(R - h_1)^2}{(R - h_2)^2}\cdot\frac{\lambda}{\lambda + ct_2}. \qquad (3)

Теперь учтем, что $h_1 = \eta_1R = 0{,}2R$ и $h_2 = \eta_2R$ . Подстановка этих соотношений в выражение (3) приводит к квадратному уравнению относительно неизвестной величины $\eta_2$

\frac{1 - (1 - \eta_1)^2}{1 - (1 - \eta_2)^2}\cdot\frac{t_1}{t_1 - t_2} = \frac{(1 - \eta_1)^2}{(1 - \eta_2)^2}\cdot\frac{\lambda}{\lambda + ct_2}. \qquad (4)

Решать это уравнение в общем виде весьма затруднительно, поэтому подставим в (4) все известные численные данные и придем в итоге к уравнению

\eta_2^2 - 2\eta_2 + 0{,}628 = 0,

корнями которого являются числа $\eta_2 = 1{,}61;\ 0{,}39$ . Выбираем второй корень, поскольку первый явно не подходит (обратите внимание, что он дает такую же по модулю разность в скобках в уравнении (4) как и первый корень). Тогда изменение толщины стенок равно

\frac{0{,}39}{0{,}20} = 1{,}95 \approx 2.

Увеличить толщину стенок стакана придется примерно в два раза.

Поперечное сечение стакана: кольцо (стенка толщины h, заштриховано) с внешним радиусом R, проведенным из центра.

Отметим, что мы могли насыпать в стакан колотый лед или рыхлый снег, главное чтобы их плотность в обоих опытах была неизменна.

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf