Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. 9.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Одним из основоположников современной физики по праву считается итальянский ученый Галилео Галилей. В начале XVII века он экспериментально исследовал движение различных тел под действием притяжения к Земле. Ему удалось доказать, что такое движение является равноускоренным и не зависящим от массы тела (если пренебречь силами сопротивления). В частности, Г.Галилей подробно исследовал качение шаров (в качестве которых использовал пушечные ядра) по наклонной плоскости.

Воспроизведем результаты опытов Г. Галилея. В качестве наклонной плоскости используется желоб длиной $L = 5{,}0\ \mathrm{м}$ (конечно, во времена Галилея в Италии употреблялись другие единицы длины), один из концов которого приподнят на высоту $h$ .

Наклонный желоб длины L, один конец которого поднят на подставке на высоту h; по желобу катится шар, пройденный путь обозначен S; справа — вектор g, направленный вниз, и маятник (груз на нити), качающийся из стороны в сторону.

Для того, чтобы отмерять равные промежутки времени, Г.Галилей использовал маятник - груз подвешенный на нити.

В Таблице 1 приведены значения пути $S$ , пройденного шаром, за время, равное целому числу $n$ колебаний маятника, при разных значениях высоты $h$ (проскальзывание отсутствует).

Таблица 1.

$h=$ 20 см	$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	$S$ ,м	0,19	0,39	0,77	1,18	1,59	2,29	2,92	3,43	4,37
$h=$ 30 см	$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	$S$ ,м	0,27	0,64	1,17	1,79	2,47	3,51	4,31	-	-
$h=$ 40 см	$n$	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	$S$ ,м	0,37	0,90	1,54	2,31	3,01	4,60	-	-	-

На основании приведенных данных

1. Покажите, что движение ядра по желобу действительно является равноускоренным.

2. Найдите, как зависит ускорение ядра от высоты $h$ . Объясните эту зависимость.

3. Вычислите путь, который пройдет ядро за пять колебаний маятника при высоте $h = 50\ \mathrm{см}$ ?

Отговори

Решение

9.5 При равноускоренном движении тела с нулевой начальной скоростью пройденный путь зависит от времени по закону

S = \frac{at^2}{2}, \qquad (1)

где $a$ - ускорение тела. Иными словами, пройденный путь пропорционален квадрату времени. Постоянный период колебаний маятника в данном случае может служить единицей измерения времени, поэтому можно переписать формулу (1) в виде

S = \frac{An^2}{2}, \qquad (2)

где $A$ - ускорение тела, измеренное в «метрах на период в квадрате», а $n$ - число периодов.

График зависимости пути S, м (0–5) от n² (0–100): три прямые через начало координат с экспериментальными точками, подписанные h=40 см (самая крутая), h=30 см и h=20 см.

Построим графики зависимости пройденного пути от квадрата времени (то есть, $n^2$ ). Как видно, эти зависимости представляют прямые линии, следовательно эксперимент подтверждает формулу (2), то есть движение действительно является равноускоренным.

По наклону графиков определим ускорения шаров при каждом значении высоты $h$ :

A = 2\frac{\Delta S}{\Delta n^2}. \qquad (3)

Получим следующие значения

График зависимости A (0–0,3) от h (10–50): прямая через начало координат с точками при h = 20, 30, 40; при h = 50 проведены вспомогательные линии к значению A ≈ 0,23.

$h = 20\ \mathrm{см},\quad A \approx 0{,}09\mathrm{м}$

$h = 30\ \mathrm{см},\quad A \approx 0{,}14\mathrm{м}$

$h = 40\ \mathrm{см},\quad A \approx 0{,}18\mathrm{м}$

Можно заметить, что ускорение прямо пропорционально высоте $h$ . Еще лучше построить график зависимости $A(h)$ и убедится в ее прямой пропорциональности.

С помощью графика, либо непосредственно по численным значениям легко определить коэффициент пропорциональности. Окончательно получаем $A \approx 0{,}46h$ , где высота $h$ измеряется в метрах.

Легко показать, что ускорение при движении по наклонной плоскости пропорционально синусу угла наклона, который при постоянной длине желоба пропорционален высоте $h$ . Действительно, кинетическая энергия катящегося шара пропорциональна квадрату скорости $E_{\mathrm{кин.}} = Cv^2$ , где $C$ - постоянный коэффициент, зависящий не только от распределения масс внутри шара, но и от глубины желоба. Пренебрегая работой против сил трения качения, можем приравнять кинетическую энергию в конце желоба к начальной потенциальной энергии

Cv^2 = mgh. \qquad (4)

С другой стороны при равноускоренном движении справедлива формула

L = \frac{v^2}{2a}, \qquad (5)

где $a$ - ускорение шара. Из формул (4)-(5) следует $a = \frac{mgh}{2CL} \propto h$ .

При высоте $h = 50\ \mathrm{см}$ ускорение примерно равно $A \approx 0{,}23$ . Поэтому путь пройденным шаром за пять колебаний маятника

S = \frac{An^2}{2} \approx 2{,}88\ \mathrm{м}.

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf