Съдържание

BelPhO 2000, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. 10.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2000

Республиканская олимпиада школьников по физике. Брест - 2000 (теоретический тур)

Условие

Упругая комбинированная прокладка представляет собой стальную и алюминиевую пластины, сложенные вместе. Определите коэффициенты упругости системы вдоль осей $OX;\ OY;\ OZ$ . Модуль Юнга стали $E_1 = 250\ \mathrm{ГПа}$ , алюминия $E_2 = 71\ \mathrm{ГПа}$ , толщина стального бруска $a_1 = 1{,}0\ \mathrm{см}$ , алюминиевого $a_2 = 2{,}0\ \mathrm{см}$ , $b = 5{,}0\ \mathrm{см}$ , $c = 10\ \mathrm{см}$ .

Прямоугольный брусок из двух слоев: верхний толщиной a_1, нижний толщиной a_2; оси X, Y, Z; горизонтальные размеры b и c.

Отговори

Решение

10.1 Для вычисления коэффициента жесткости необходимо вычислить отношение приложенной силы $F$ к изменению длины образца $\Delta l$

k = \frac{F}{\Delta l}. \qquad (1)

Возможны два способа вычисления этого коэффициента: первый - задать внешнюю силу и затем рассчитать удлинение; второй - задать удлинение и затем найти возникающую силу упругости. Для выполнения данной процедуры необходимо использовать закон Гука $\sigma = \varepsilon E$ , где $\sigma = \frac{F}{S}$ - механическое напряжение, возникающее в образце, $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l}$ - относительная деформация образца.

Рассмотрим сжатие образца вдоль оси $OY$ на малую величину $\Delta y$ . В этом случае относительные деформации каждой пластины одинаковы и равны $\varepsilon = \frac{\Delta y}{b}$ . По закону Гука в пластинах возникают упругие напряжения

\sigma_{1,2} = \varepsilon E_{1,2} = E_{1,2}\frac{\Delta y}{b}. \qquad (2)

Поэтому суммарная сила упругости определится по формуле

F = \sigma_1S_1 + \sigma_2S_2 = \frac{\Delta y}{b}c(E_1a_1 + E_2a_2). \qquad (3)

Следовательно, коэффициент жесткости при деформации вдоль оси $OY$ вычисляется по формуле

k_y = \frac{F}{\Delta y} = \frac{c}{b}(E_1a_1 + E_2a_2) \approx 7{,}8\cdot 10^9\ \frac{\mathrm{Н}}{\mathrm{м}}. \qquad (4)

Двухслойный брусок (слои a_1 и a_2) в осях X, Y, Z с вершинами A, B, C, D, E, G; сила F приложена вдоль оси Y, сжатие Δy показано у вершины C; размеры b и c.

Коэффициент жесткости при деформации вдоль оси $OX$ рассчитывается аналогично (достаточно в последней формуле поменять местами $b$ и $c$ ):

k_x = \frac{b}{c}(E_1a_1 + E_2a_2) \approx 2{,}0\cdot 10^9\ \frac{\mathrm{Н}}{\mathrm{м}}. \qquad (5)

Для вычисления коэффициента жесткости вдоль оси $OZ$ положим, что к образцу приложена внешняя сила $F$ и найдем деформацию «бутерброда». Механические напряжения в обеих пластинах будут одинаковы и равны

\sigma = \frac{F}{bc}. \qquad (6)

Общая деформация равна сумме деформаций пластин

\Delta z = \Delta z_1 + \Delta z_2 = \frac{\sigma}{E_1}a_1 + \frac{\sigma}{E_1}a_2 = \frac{F}{bc}\left(\frac{a_1}{E_1} + \frac{a_2}{E_2}\right)

Следовательно, коэффициент жесткости при такой нагрузке вычисляется по формуле

k_z = \frac{F}{\Delta z} = \frac{bc}{\frac{a_1}{E_1} + \frac{a_2}{E_2}} \approx 1{,}6\cdot 10^{10}\ \frac{\mathrm{Н}}{\mathrm{м}}. \qquad (7)

Тот же двухслойный брусок с вершинами A, B, C, D, G; сила F приложена сверху вдоль оси Z; деформации слоев Δz_1 и Δz_2 отмечены справа; размеры b и c.

Оригинал в Архива: 2000problems.pdf · официални решения: 2000solutions.pdf