BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. 9.1

• $V_0=\sqrt{\frac{2(P_0-P_1)}{\left(\frac{r_0^4}{r_1^4}-1\right)}};\quad V_1=\sqrt{\frac{2(P_0-P_1)}{\left(1-\frac{r_1^4}{r_0^4}\right)}}$

  Так напечатано в официальном решении (формула (4)); плотность жидкости ρ в знаменателе там не напечатана, хотя следует из уравнения (3).

9.1. Пусть один поршень, двигаясь с постоянной скоростью $V_0$, сместился на малое расстояние $x_0$, тогда второй, двигаясь со скоростью $V_1$, сместился на расстояние $x_1$, причем из условия несжимаемости жидкости следует

где $S_0, S_1$ - площади поршней. Газ, находящийся слева, при этом совершит работу $P_0S_0x_0$, которая расходуется на работу второго поршня $P_1S_1x_1$ и увеличение кинетической энергии жидкости. Действительно, часть жидкости объемом $S_0x_0$ увеличила скорость от $V_0$ до $V_1$. Таким образом, уравнение баланса энергий имеет вид

Решая систему уравнений (1)-(3), получаем

при выводе учтено, что $\frac{S_0^2}{S_1^2} = \frac{r_0^4}{r_1^4}$.

Заметим, что соотношение (3) является фактически уравнением Бернулли.