Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 4. 9.4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 7 т.

Условие

Два баскетболиста ростом $h = 2{,}0\ \mathrm{м}$ каждый бросили одновременно два мяча, один под углом $\alpha_1 = 30^{\circ}$ , а второй под углом $\alpha_2 = 60^{\circ}$ к горизонту. Найдите расстояние между баскетболистами в момент броска, если известно, что брошенные мячи столкнулись в воздухе на высоте $H = 5{,}0\ \mathrm{м}$ над уровнем пола через время $\tau = 1{,}0\ \mathrm{c}$ после броска. Ускорение свободного падения $g = 9{,}8\ \frac{\mathrm{м}}{\mathrm{c}^2}$ . Сопротивлением воздуха пренебречь

Отговори

Решение

9.4 Из кинематических законов равноускоренного движения можно записать следующие уравнения

\begin{cases} H - h = v_1\tau\sin\alpha_1 - \dfrac{g\tau^2}{2} \\ H - h = v_1\tau\sin\alpha_1 - \dfrac{g\tau^2}{2} \\ S = v_1\tau\cos\alpha_1 + v_1\tau\cos\alpha_1 \end{cases}; \qquad (1)

Из первых двух уравнений следует выразить значения $v_1\tau$ и $v_2\tau$ и подставить их в третье уравнение системы (1)

S = \left(H - h + \frac{g\tau^2}{2}\right)\cdot\left(\frac{\cos\alpha_1}{\sin\alpha_1} + \frac{\cos\alpha_2}{\sin\alpha_2}\right) \approx 18\ \mathrm{м}. \qquad (2)

Данная задача допускает также более простое «геометрическое» решение. Представим закон движения каждого мяча в векторной форме $\vec{r} = \vec{v}\tau - \frac{\vec{g}\tau^2}{2}$ и изобразим его графически. Можно заметить, что треугольники $ABC$ и $ABD$ прямоугольные (т.к. $\alpha_1 + \alpha_2 = 90^{\circ}$ ) поэтому

S = \left|AC\right| = \frac{\left|AB\right|}{\cos\alpha_1} = \frac{1}{\cos\alpha_1}\cdot\frac{\left|BD\right|}{\sin\alpha_1} = \frac{H - h + \dfrac{g\tau^2}{2}}{\cos\alpha_1\sin\alpha_1},

что приводит к тому же численному результату.

Оси X и Y на высоте h над полом; из начала координат вектор V_1 под углом α_1, на расстоянии S — вектор V_2 под углом α_2 (направлен влево вверх); посередине вертикальная точка высотой H.

Треугольник ABC с высотой BD: из A вектор v_1τ к B под углом α_1, из C вектор v_2τ к B; из B вниз вектор gτ²/2 длиной H-h до точки D на основании AC = S.

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf