Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 5. 9.5

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 13 т.

Условие

Две тележки массы m на рельсах с магнитами, обращенными одноименными полюсами друг к другу (S N … N S); левой тележке сообщена скорость V_0 вправо.

Две одинаковых тележки, массы которых равны $m = 200\ \mathrm{г}$ , поставлены на длинные горизонтальные рельсы, по которым они могут катиться без трения. К тележкам прикреплены магниты, одноименными полюсами навстречу друг другу. Когда тележки находятся на большом расстоянии (на котором можно пренебречь магнитным взаимодействием), одной из них сообщают скорость $v_0$ в сторону покоящейся другой. Постройте график зависимости минимального расстояния между тележками в процессе движения от начальной скорости $v_0$ . Ниже на рисунке представлен график зависимости потенциальной энергии взаимодействия магнитов $U$ от расстояния между ними.

График U, мДж от x, см на клетчатой сетке: убывающая кривая от 20 мДж при x ≈ 1 см к примерно 1 мДж при x = 20 см; деления по U: 5, 10, 15, 20; по x: 5, 10, 15, 20.

Отговори

Решение

9.5 Запишем уравнения законов сохранения механической энергии и импульса, учитывая, что в момент наибольшего сближения $x$ скорости тележек равны (обозначим это значение $v$ )

\frac{mv_0^2}{2} = 2\frac{mv^2}{2} + U\left(x\right); \qquad (1)

mv_0 = 2mv. \qquad (2)

Из этих уравнений находим, что при минимальном сближении потенциальная энергия взаимодействия определяется выражением

U\left(x\right) = \frac{mv_0^2}{4}; \qquad (3)

Используя эту формулу и прилагаемый график зависимости $U\left(x\right)$ можно рассчитать значения начальной скорости, при которой минимальное расстояние будет равно $x_{min}$ с помощью выражения

v_0 = 2\sqrt{\frac{U\left(x_{min}\right)}{m}}. \qquad (4)

Результаты таких расчетов представлены в таблице и на графике

График x_min, (см) от v_0, (см/с) на клетчатой сетке: убывающая кривая через отмеченные точки от x_min ≈ 19 см при v_0 ≈ 13 см/с до 1 см при 60 см/с; деления по x_min: 2–20, по v_0: 10–60.

$x_{min}$ , (см)	$U$ , (мДж)	$v_0$ , (см / с)
1	18	60
2	9	42
3	6	35
5	3,5	26
9	2	20
12	1,5	17
18	1	14

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf