Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. 10.1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 10 т.

Условие

Пружинная пушка представляет собой тонкий гладкий стержень, на который насажен цилиндрический «снаряд» массой $m$ и упругая пружина. Пушка установлена под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту на тележке массой $M$ , которая может катиться без трения по длинным горизонтальным рельсам. Если тележку закрепить, то пушка выбрасывает снаряд на расстояние $S_0 = 3{,}0\ \mathrm{м}$ . Найдите расстояние между снарядом и тележкой в момент падения снаряда, если выстрел произведен с незакрепленной тележки. Отношение $\frac{m}{M} = \eta = 0{,}50$ . Высотой тележки и сопротивлением воздуха пренебречь.

Тележка массы M на рельсах, на ней наклонный под углом α стержень с пружиной и цилиндрическим снарядом массы m; справа вектор g вниз.

Отговори

Решение

10.1 При неподвижной тележке дальность полета рассчитывается по известной формуле

S_0 = \frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha\cos\alpha = \frac{v_0^2}{g}, \qquad (1)

где $v_0$ - начальная скорость снаряда.

При выстреле с подвижной тележки будет сохраняться механическая энергия (причем она будет равна энергии снаряда при стрельбе с неподвижной тележки) и проекция импульса на горизонтальное направление. Кроме того, скорость снаряда относительно тележки (а не относительно земли) будет направлена под углом $\alpha = 45^{\circ}$ к горизонту.

Разложение скорости: тележка движется влево со скоростью u, снаряд имеет составляющие v_x вправо и v_y вверх.

Разложим вектор скорости снаряда (относительно земли) на горизонтальную $v_x$ и вертикальную $v_y$ составляющие, скорость тележки обозначим $u$ . Тогда описанные условия примут вид

\frac{Mu^2}{2} + \frac{mv_x^2}{2} + \frac{mv_y^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}, \qquad (2)

Mu = mv_x, \qquad (3)

v_y = u + v_x. \qquad (4)

Время полета можно найти по формуле

t = \frac{2v_y}{g}, \qquad (5)

тогда расстояние между снарядом и тележкой следует рассчитать по формуле

S = \left(v_x + u\right)t = \frac{2v_y^2}{g}, \qquad (6)

при выводе учтены соотношения (3) и (5). Теперь из соотношений (2)-(4) необходимо выразить компоненту скорости $v_y$

v_y^2 = \frac{1 + \eta}{2 + \eta}v_0^2. \qquad (7)

Подставляя выражения (7) и (1) в формулу (6), получаем окончательное выражение

S = 2\frac{1 + \eta}{2 + \eta}S_0 \approx 3{,}6\ \mathrm{м}. \qquad (8)

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf