Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 7. 10.2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 14 т.

Условие

Внутри плоского конденсатора расположена плоскопараллельная пластина, изготовленная из слабопроводящего материала с большим удельным электрическим сопротивлением $\rho$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ . Расстояние между пластинами конденсатора $2h$ , их площадь $S$ , толщина платины $h$ , пластина расположена параллельно обкладкам конденсатора, ее площадь равна площади обкладок. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$ с малым внутренним сопротивлением. Постройте схематический график зависимости заряда обкладки конденсатора от времени. Чему равно максимальное значение силы тока во вложенной пластине при зарядке конденсатора? Оцените характерное время зарядки конденсатора. Краевыми эффектами пренебречь.

Плоский конденсатор с расстоянием 2h между обкладками, внутри заштрихованная пластина толщиной h; обкладки подключены через ключ к источнику напряжения U.

Отговори

Решение

Конденсатор с пластиной толщиной h между обкладками на расстоянии 2h; заряды: на обкладках +σ_0 и −σ_0, на поверхностях пластины −σ′ и +σ′.

10.3 Обозначим поверхностную плотность зарядов на обкладках конденсатора $\sigma_0$ , а на поверхности пластины $\sigma'$ (обе эти величины зависят от времени). Так как внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало, то в любой момент времени разность потенциалов между обкладками конденсатора будет равна напряжению источника. Поэтому в любой момент времени справедливо соотношение

\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}h + \frac{\sigma_0 - \sigma'}{\varepsilon_0}h = U, \qquad (1)

где $\frac{\sigma_0}{\varepsilon_0}, \frac{\sigma_0 - \sigma'}{\varepsilon_0}$ - напряженности электрических полей между платиной и обкладками и внутри пластины, соответственно.

Сразу после подключения источника на пластине возникнут поляризационные заряды, такие, что поле внутри пластины будет в $\varepsilon$ раз меньше поля вне ее, то есть

\frac{\sigma_0 - \sigma'}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_0}{\varepsilon\varepsilon_0}. \qquad (2)

Из этих соотношений находим, что плотность зарядов на обкладке конденсатора будет равной

\sigma_0^{(0)} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon + 1}\cdot\frac{\varepsilon_0U}{h}, \qquad (3)

следовательно, в начальный момент времени заряд пластины будет равен

Q_0 = S\sigma_0^{(0)} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon + 1}\cdot\frac{\varepsilon_0US}{h}. \qquad (4)

Однако, пластина слабо, но проводит электрический ток. Поэтому внутри пластины ток будет течь до тех пор, пока поле внутри пластины не исчезнет. Это произойдет при $\sigma_0 = \sigma'$ . В этом случае из соотношения (1) следует

\sigma_0^{(1)} = \frac{\varepsilon_0U}{h}, \qquad (3)

соответствующий заряд на обкладке примет значение

Q_1 = S\sigma_0^{(1)} = \frac{\varepsilon_0US}{h}. \qquad (4)

Таким образом, заряд на пластине будет монотонно возрастать от $Q_0$ до $Q_1$ .

График Q от t: кривая растет от Q_0 и асимптотически приближается к уровню Q_1.

Изменение поверхностной плотности заряда обусловлено током внутри пластины. Плотность этого тока может быть найдена по закону Ома

j = \frac{\Delta\sigma'}{\Delta t} = \frac{E}{\rho} = \frac{\sigma_0 - \sigma'}{\rho\varepsilon_0}. \qquad (5)

Плотность тока максимальна, когда максимально поле внутри пластины, то есть в начальный момент времени, когда

j_{max} = \frac{\Delta\sigma'}{\Delta t} = \frac{\sigma_0 - \sigma'}{\rho\varepsilon_0} = \frac{\sigma_0}{\rho\varepsilon_0\varepsilon} = \frac{U}{h\rho\left(\varepsilon + 1\right)}, \qquad (6)

следовательно, максимальная сила тока

I_{max} = j_{max}S = \frac{US}{h\rho\left(\varepsilon + 1\right)}, \qquad (6)

Строго говоря, время установления равновесия зарядов на пластине и обкладках конденсатора равно бесконечности, так как сила тока в соответствии с формулой (5) монотонно убывает. Однако характерное время зарядки конденсатора $\tau$ мы можем получить, считая силу тока постоянной и равной $I_{max}$ . Этот метод получения оценки иллюстрирует следующий рисунок.

График Q′ от t: кривая растет от Q′_0 к Q′_1; касательная в начале достигает уровня Q′_1 в момент τ.

Изменение заряда легко подсчитать - в начальный момент времени заряд поверхности пластины

Q_0' = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon}Q_0 = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 1}\cdot\frac{\varepsilon_0US}{h}, \qquad (7)

а его конечное значение

Q_1' = Q_0 = \frac{\varepsilon_0US}{h}. \qquad (8)

Итак, оценка характерного времени заряда имеет вид

\tau = \frac{Q_1' - Q_0'}{I_{max}} = 2\rho\varepsilon_0. \qquad (9)

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf