Съдържание

BelPhO 2001, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 8. 10.3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2001

Белорусская республиканская физическая олимпиада, Барановичи, 2001 год · 7 т.

Условие

Вертикальный диск с прорезями, исходящими из верхней точки A к разным точкам окружности; по прорезям скользят бруски; справа вектор g вниз.

В вертикально расположенном диске проделаны прорези, начинающиеся в верхней точке диска $A$ , по которым могу скользить без трения небольшие бруски. Покажите, что времена соскальзывания брусков (без начальной скорости) по всем желобкам одинаковы.

Точка A над наклонной плоскостью с углом α к горизонту; из A прямой желоб к плоскости под углом β к вертикали; вектор g вниз.

Точка $A$ находится над наклонной плоскостью, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Из точки $A$ необходимо опустить прямой желоб на наклонную плоскость. Под каким углом $\beta$ к вертикали необходимо опустить этот желоб, чтобы время соскальзывания бруска на плоскость было минимальным?

Отговори

Решение

10.3 Рассмотрим скольжение тела по произвольной прорези, образующей угол $\alpha$ с горизонтом. Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости без трения, определяется известной формулой

a = g\sin\alpha. \qquad (1)

Длину этой прорези также не трудно найти: отмеченные на рисунке углы равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, длина прорези равна $S = 2R\sin\alpha$ .

Верхняя часть окружности радиуса R: из верхней точки хорда S к точке окружности; отмечены два равных угла α с взаимно перпендикулярными сторонами.

Используя закон равноускоренного движения $S = \frac{at^2}{2}$ , найдем время движения

t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{4R}{g}}, \qquad (2)

которое не зависит от угла $\alpha$ , следовательно, одинаково для всех прорезей.

Воспользуемся полученным результатом для решения второй части задачи. Представим, что из точки $A$ одновременно по разным наклонным плоскостям начали скользить малые тела. Согласно ранее доказанному в любой момент времени они будут находиться на одной окружности, радиус которой постоянно растет. Тогда первым достигнет наклонной плоскости тот брусок, который находится в точке касания окружности, касательной к плоскости. С помощью рисунка легко доказать, что искомый угол желоба с вертикалью равен половине угла $\alpha$ , то есть $\beta = \frac{\alpha}{2}$ .

Несколько окружностей, проходящих через верхнюю точку A, с хордами из A; точки на хордах, лежащие на одной окружности.

Окружность из точки A, касающаяся наклонной плоскости с углом α; желоб из A к точке касания образует угол β с вертикалью; отмечены углы α.

Оригинал в Архива: 2001problems.pdf · официални решения: 2001solutions.pdf