Съдържание

BelPhO 2004, Областен етап, 9–11 клас — Задача 9.4. 9 класс. Задание 4. «Сочини закон Ома!»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2004

Минская городская олимпиада по физике 2004 год

Условие

1. Частица движется по прямой. В течение промежутка времени $\tau$ она движется с постоянным ускорением $a$ , после чего в результате столкновения полностью останавливается. Затем она снова начинается двигаться с тем же ускорением в течение такого же промежутка времени $\tau$ , останавливается… и так далее. Постройте примерные графики зависимостей скорости и координаты частицы от времени. Найдите среднюю скорость движения частицы за промежуток времени значительно превышающий $\tau$ .

2. Частица движется по прямой с постоянным ускорением $a$ , пройдя путь $l$ , в результате столкновения полностью останавливается. Затем она снова начинается двигаться с тем же ускорением и опять проходит путь $l$ , останавливается… и так далее. Найдите среднюю скорость движения частицы на расстоянии, значительно превышающем $l$ .

При изучении физических явлений, особенно плохо знакомых, полезно построить правдоподобную, пусть и примитивную модель. Сейчас вам предстоит в рамках модели подобного типа объяснить закон Ома.

Носителями электрического тока в металлах являются электроны (элементарные частицы, масса которых равна $m$ , а электрический заряд $e$ ). Концентрация электронов (число электронов в единице объема) зависит от рода металла. Пусть в нашем случае она известна и равна $n$ . Внутри проводника в течение некоторого промежутка времени $\tau$ (которое считайте постоянным и известным) электрон движется свободно под действием сил электрического поля, а затем сталкивается с ионом кристаллической решетки и полностью теряет свою скорость. Рассмотрим цилиндрический проводник длиной $L$ и площадью поперечного сечения $S$ , к концам которого приложено постоянное электрическое напряжение $U$ .

Цилиндрический проводник длиной L с торцом площади S; внутри электроны e, движущиеся вдоль оси (кружки со стрелками).

3. Чему равна электрическая сила, действующая на отдельный электрон?

4. Чему равна средняя скорость направленного движения электронов?

5. Покажите, что в рамках данной модели выполняется закон Ома для участка цепи.

6. Найдите силу тока в цепи.

7. Выразите удельное электрическое сопротивление металла через его характеристик (концентрацию электронов $n$ , время свободного движения электронов $\tau$ ) и характеристики электрона.

Отговори

Решение

1. График зависимости скорости частицы от времени представляет собой набор прямолинейных отрезков, коэффициент наклона которых к оси времени равен ускорению частицы $a$ .

Пилообразный график V(t): скорость линейно растет до aτ и падает до нуля в моменты τ, 2τ, 3τ; уровень aτ показан пунктиром.

Зависимость координаты от времени изображается в виде набора парабол, каждая из которых описывается функцией

График x(t): последовательность дуг парабол между моментами τ, 2τ, 3τ; на оси x отмечены уровни aτ²/2, 2aτ²/2, 3aτ²/2.

x = x_0 + \frac{at^2}{2}. \qquad (1)

Средняя скорость движения частицы за большой промежуток времени равна средней скорости на временном интервале равноускоренного движения, т.е.

V_{\text{ср.}} = \frac{a\tau}{2}. \qquad (2)

2. Время движения частицы на одном интервале равноускоренного движения определим из уравнения

l = \frac{a\tau^2}{2} \quad\Rightarrow\quad \tau = \sqrt{\frac{2l}{a}}. \qquad (3)

Тогда средняя скорость движения будет равна

V_{\text{ср}} = \frac{l}{\tau} = \sqrt{\frac{al}{2}}. \qquad (4)

3. Как известно, электрическое напряжение равно работе электрических сил по перемещению единичного заряда, поэтому

U = \frac{FL}{e} \quad\Rightarrow\quad F = \frac{eU}{L} \qquad (5)

4. Ускорение электрона между столкновениями определяется по второму закону Ньютона

a = \frac{F}{m} \quad\Rightarrow\quad a = \frac{eU}{mL}. \qquad (6)

Так как в течение промежутка времени $\tau$ электрон движется с постоянным ускорением, а затем полностью теряет свою скорость, его средняя скорость равна (см. (2))

V_{\text{ср}} = \frac{a\tau}{2} = \frac{eU\tau}{2mL}. \qquad (7)

5. Сила электрического тока равна заряду, проходящему через поперечное сечение проводника в единицу времени. Так как концентрация электронов в проводнике постоянна, то сила тока пропорциональна средней скорости движения электронов. Так как средняя скорость пропорциональна приложенному напряжению, то сила тока пропорциональна приложенному напряжению, что и соответствует закону Ома.

6. Через поперечное сечение проводника за время $t$ пройдут те электроны, которые находятся от рассматриваемого сечения на расстояниях меньших, чем $V_{\text{ср}}t$ , то есть в объеме проводника $V_{\text{ср}}tS$ , умножая этот объем на концентрацию электронов, получим число электронов в этом объеме $V_{\text{ср}}tSn$ , для вычисления суммарного заряда необходимо умножить число электронов на заряд одного электрона. Таким образом, за время $t$ через поперечное сечения проводника протечет заряд $q = V_{\text{ср}}tSne$ . Следовательно, сила тока в цепи

I = \frac{q}{t} = V_{\text{ср}}Sne = \frac{e^2\tau Sn}{2mL}U. \qquad (8)

Запишем закон Ома в «традиционной» форме и выразим сопротивление проводника через его размеры и удельное электрическое сопротивление

I = \frac{U}{R} = \frac{US}{\rho L}. \qquad (9)

Сравнивая данное выражение с полученной ранее формулой (8), находим удельное электрическое сопротивление материала проводника

\rho = \frac{2m}{e^2\tau n}. \qquad (8)

Оригинал в Архива: 3_etap_2004_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2004_solutions.pdf