Съдържание

BelPhO 2007, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. 9 класс · Задание 1. «Разминка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2007

Республиканская физическая олимпиада 2007 года — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Исходные сведения

УТВЕРЖДЕНО
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель министра образования Республики Беларусь
_____________________ К.С. Фарино
«___» марта 2007 г.

Республиканская физическая олимпиада 2007 год. г. Минск. Теоретический тур.
9 класс.

Оргкомитет и Жюри заключительного этапа Республиканской олимпиады школьников 2007 года

приветствуют вас в городе Минске;
поздравляют с успешными выступлениями на предыдущих этапах олимпиады;
желают успехов на заключительном этапе.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь в оргкомитету, обеспечим!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Во всех задачах ускорение свободного падения считать равным $g=9{,}81\,\frac{м}{с^2}$ .

Условие

9 класс. Задание 1. «Разминка»

1.1 Лампочка.

Сопротивление лампочки накаливания существенно изменяется, в зависимости от яркости свечения, т.е. от величины проходящего через неё тока. На рис.1.1 приведена эта зависимость. Лампочку включают последовательно с нагрузкой, сопротивление которой равно $R=30\,Ом$ и источником напряжения $U=20\,В$ . Определите силу тока в цепи.

Рис. 1.1

1.2 «Виброход»

Горизонтальная лента транспортера движется так, что каждую секунду ( $\tau=1{,}0\,с$ ) ее скорость практически мгновенно¹ изменяет свое направление на противоположное, при движении ленты в каждом направлении модуль скорости равен $V=1{,}0\,\frac{м}{с}$ . График зависимости скорости ленты от времени показан на рисунке. На ленту положили брусок. Поверхности бруска и ленты таковы, что коэффициент трения между ними зависит от направления относительного движения («по шерсти и против шерсти»). При движении бруска влево относительно ленты, коэффициент трения равен $\mu_1=0{,}30$ , при движении вправо относительно ленты коэффициент трения равен $\mu_2=0{,}40$ . Найдите среднюю скорость движения бруска относительно поверхности земли за промежуток времени, значительно превышающий период колебаний ленты транспортера.

Исходная схема бруска/транспортера и ступенчатый график V,м/с отt,с, все±1ступени/0–5с/стрелки.

¹ Мгновенно изменить скорость движения тела невозможно, однако в данном случае считается, что время изменения скорости значительно меньше одной секунды.

1.3 «Переменная теплоемкость»

Теплоемкость некоторого тела линейно изменяется² от $C_1=2{,}0\,\frac{кДж}{град}$ до $C_2=4{,}0\,\frac{кДж}{град}$ при изменении его температуры от $t_1=20\,{}^\circ C$ до $t_1=100\,{}^\circ C$ . Тело, находящееся при температуре $t_1=20\,{}^\circ C$ , поместили в нагреватель постоянной мощности $P=1{,}0\,кВт$ (вся эта теплота идет на нагревание бруска). Найдите зависимость температуры тела от времени.

Исходный линейный график C,кДж/град отt,°C, отмеченные20°C/2 и100°C/4, полные оси и шкалы.

² Не удивляйтесь: теплоемкость может изменяться по разным причинам, например, из-за плавления, протекания химических реакций и т.д.

Решение

1.1 Лампочка.

Решение данной задачи фактически сводится к решению двух уравнений, одно из которых задано графически в виде зависимости сопротивления лампочки от силы протекающего тока. Второе уравнение следует из закона Ома

I(R_0+R)=U_0,\qquad (1)

где $U_0=20\,В$ - напряжение источника, $R_0=30\,Ом$ - сопротивление, последовательно включенного резистора. Из уравнения (1) выразим

R=\frac{U_0}{I}-R_0\qquad (2)

и построим график этой функции (прямо на представленном графике). Точка пересечения двух графиков и будет решением. По графику находим, что значение силы тока в цепи приблизительно равно $I=0{,}35\,А$ .

Исходная цепь лампы/R₀/R/U₀,всесоединения.

Исходный график двухзависимостейR(I),точкапересеченияI≈0.35А/полныеметки/направленнаялиния.

Решение также легко получить методом простой итерации. Берём на вскидку некоторое значение тока в цепи, из графика находим соответствующее значение $R_Л$ , подставляем его в формулу (3) и вычисляем новое значение тока.

I_{n+1}=\frac{U}{R+R_Л(I_n)}\qquad (3).

Результаты вычислений для $I_0=0{,}5\,А$ приведены в таблице

Исходная итерационнаятаблица n,I,A,R,Ом,все4строки.

$n$	$I$ , А	$R$ , Ом
0	0,5	32
1	0,32	26
2	0,36	27
3	0,35	27

Таким образом, ток в цепи равен: $\boxed{I=0{,}35\,А}$

1.2 «Виброход»

При скольжении бруска по ленте транспортера его ускорение определяется из уравнения второго закона Ньютона

ma=\mu mg\quad\Rightarrow\quad a=\mu g.\qquad (1)

Численные значения этих ускорений

\begin{gathered} a_1=\mu_1g=0{,}30\cdot9{,}81\approx2{,}94\,\frac{м}{с^2},\\ a_2=\mu_2g=0{,}40\cdot9{,}81\approx3{,}92\,\frac{м}{с^2} \end{gathered}\qquad (2)

таковы, что за одну секунду брусок успевает изменить свою скорость и достичь «новой» скорости ленты.

Рассмотрим подробнее периодический процесс движения бруска.

Итак, пусть брусок движется вместе с лентой вправо (точка 1 на графике). В этот момент времени скорость ленты изменяется на противоположную, однако брусок некоторое время продолжает по инерции двигаться в прежнем направлении, затем направление его движения изменяется, наконец, его скорость сравнивается со скоростью ленты (т. 2), после чего он движется, оставаясь неподвижным относительно ленты, до тех пор, пока скорость ленты не изменится на противоположную (т.3).

Исходный график движениябруска/ленты,всеузлы1–5,t₁/t₂/синиевертикали/всеоси.

Время изменения скорости бруска (время его ускоренного движения) легко найти

t_1=\frac{2V}{\mu_1g}.\qquad (3)

Очевидно, что среднее смещение бруска за это время равно нулю. Смещение бруска за оставшейся промежуток времени (до изменения направления скорости ленты будет равно

\Delta x_1=-V(\tau-t_1)=-V\left(\tau-\frac{2V}{\mu_1g}\right).\qquad (4)

Аналогичные рассуждения для движения ленты в противоположном направлении, приводят к аналогичной формуле, определяющей смещение бруска

\Delta x_2=V(\tau-t_2)=V\left(\tau-\frac{2V}{\mu_2g}\right).\qquad (5)

Таким образом, суммарное смещение бруска за время $2\tau$ будет равно

\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2=-V\left(\tau-\frac{2V}{\mu_1g}\right)+V\left(\tau-\frac{2V}{\mu_2g}\right)=\frac{2V^2}{g}\left(\frac{1}{\mu_1}-\frac{1}{\mu_2}\right),\qquad (6)

следовательно, средняя скорость бруска равна

\boxed{V_{ср.}=\frac{\Delta x}{2\tau}=\frac{V^2}{g\tau}\left(\frac{1}{\mu_1}-\frac{1}{\mu_2}\right)=\frac{1{,}0^2}{9{,}81\cdot1{,}0}\left(\frac{1}{0{,}30}-\frac{1}{0{,}40}\right)\approx0{,}085\,\frac{м}{с}}\qquad (7)

1.3 «Переменная теплоемкость»

Количество теплоты, которое требуется на нагревание тела до некоторой температуры $t$ , численно равно площади под графиком зависимости теплоемкости от температуры. Выразим это количество теплоты

Q(t)=\frac12(C_0+C(t))(t-t_0).\qquad (1)

Значения теплоемкости тела при температуре $t$ можно выразить из графика линейной зависимости

C(t)=C_0+\frac{C_1-C_0}{t_1-t_0}(t-t_0).\qquad (2)

Исходный график C(t)/заштрихованнаяплощадь/C₀,C₁,C/t₀,t₁,t/всечислаиоси.

С другой стороны количество поступающей теплоты выражается через мощность нагревателя

Q=P\tau,\qquad (3)

здесь $\tau$ - время нагревания.

Таким образом, для определения зависимости температуры бруска от времени имеем квадратное уравнение

\frac12\left(C_0+C_0+\frac{C_1-C_0}{t_1-t_0}(t-t_0)\right)(t-t_0)=P\tau.\qquad (4)

Решение которого не составляет труда (отрицательный корень отбрасываем)

(t-t_0)=\frac{\sqrt{4C_0^2+8P\tau\frac{C_1-C_0}{t_1-t_0}}-2C_0}{2\frac{C_1-C_0}{t_1-t_0}}.

Подстановка численных значений приводит к функции, описывающей зависимость температуры от времени (время задается в секундах):

t(\tau)=20\sqrt{16+0{,}20\tau}-60.\qquad (6)

График этой функции показан на рисунке.

Исходный график температурыt,°Cотвремениτ,с0–240с/20–100°C/полныеоси.

Примечание к оригиналу

В оригинале сохранены девять отдельно напечатанных теоретических задач 9,10 и11 классов.39 пронумерованных запросов и два раздела с вопросами без отдельной нумерации; предварительное каталожное число40 не заменяет исходную структуру. Ключ кинематической диаграммы содержит пункты1–6 при пяти основных пунктах условия. Условие погоды пропускает номер2.2.3. Полные14 страницы условий и26 страницы доступного официального ключа переданы с исходными графиками и таблицами. В исходном ключе пять математических символов в формулах на страницах4,5 и19 изображены нечитаемыми прямоугольниками; они обозначены □ и сопровождаются исходными фрагментами без догадки об их значении. Сохранены печатные расхождения: повтор u₁ в последней формуле кинематической диаграммы; знак разности концентраций в условии и ключе; ε₀ и множители в нервной модели; Вт/см² и кВт/см² в описании бистабильности; степень T₀² в формуле(23) погоды; A₃ на схемах и A₁ в формулах; повторные номера/ссылки формул; N≈3000 и3·10⁻⁴с в ключе лазерного охлаждения. Научные значения и исходные ошибки не исправлены скрыто. Отдельная численная шкала оценивания, список авторов и внешние приложения в этом комплекте не напечатаны.

Оригинал в Архива: 2007problems.pdf · официални решения: 2007solutions.pdf