Съдържание

Условие Часть 1. План путешествия.Часть 2. Путешествие.Решение

BelPhO 2010, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-1. 9 класс — 1. Федя – путешественник

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2010

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 19 страниц условий и 27 страниц соответствующего теоретического ключа. Сохранены девять целых заданий: по три для 9, 10 и 11 классов, всего 68 печатных групп запросов вместо каталожных 72 частей. Две части «Двух генераторов» остаются одной исходной задачей. Указание об общей тройке заданий относится к каждому классу. Все девять решений, альтернативные методы, сноска и авторские комментарии получены. Два исходных пустых графических бланка к «Феде – путешественнику» напечатаны на странице 6 условий и сохранены полностью. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны; отдельные дополнительные инструкции, таблица констант и бланки в папке не получены. Экспериментальные оригиналы принадлежат уже существующему экспериментальному туру и здесь не использованы. Декоративные изображения обложек сохранены в исходных PDF.

Печатные научные несогласованности не исправлены: повтор пункта 2.3 у «Фонаря», дополнительный H во втором выражении объема поплавка, отсутствие единицы RПАР и название магнитной области электрической; единица м/с при переводе в метры в минуту, ключевые заголовки 2.1 и 2.6 вместо 1.3 и 2.5, множитель 2 в последней формуле встреч Феди, альтернативные числа со знаками вопроса в таблице, четвертая и пятая встречи в разных местах, округление 150·147 до 22000; повторные номера формул и времен, Δv вместо Δx в формуле вязкого торможения, 24 м рядом с графиком 1,6 м у «Фонаря», Q+Q′ вместо ранее введенного Q1 у машины Ньюкомена, разные индексы архимедовых сил поплавка и размерностно несогласованное −2R² в корне тангенса; коэффициент 10⁴I² в разложении фотоэлемента вместо коэффициента, следующего из предыдущей формулы. Сохранены исходные словесные и грамматические ошибки. Ошибки первоначального отображения не встроенного шрифта Symbol в предварительных изображениях не являются дефектами печатного источника: все страницы прочитаны в корректном новом отображении тех же исходных PDF, символы τ, λ, Δ, ≈, μ, π и минус сохранены. В интерфейсе второй печатный пункт 2.3 отмечен знаком 2.3†, чтобы отличить два исходных запроса с одинаковым номером; знак † является редакционной отметкой, исходный номер сохранен. В печатном ключе «Поплавка» нет отдельного ответа на запрос 10: ключ заканчивается условиями равновесия/устойчивости (18)–(20) и обсуждением потенциальных кривых. Сохранено все напечатанное решение; дополнительный ответ не придуман.

Оригинальные утверждение и общие инструкции

УТВЕРЖДЕНО. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады, заместитель Министра образования Республики Беларусь. ________К.С. Фарино. «_» марта 2010 года.

Республиканская физическая олимпиада 2010 год (заключительный этап). Теоретический тур.

Полный комплект состоит из трех несвязанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради для чистовика, вторая - черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Оригинальная обложка решений и авторы

А.И. Слободянюк, А.А. Мищук, Л.Г. Маркович. Республиканская физическая олимпиада (Заключительный этап) 2010 год. Теоретический тур. Решения.

Условие

Молодой, но талантливый физик Федя (он же Дядя Федор) летом гостил в деревне Простоквашино. Однажды он решил отправиться к своему другу в соседнюю деревню Кефирино, находящуюся на расстоянии $S=5,0\text{ км}$ . Кот Матроскин, хотел знать, как идет путешествие. Но у кота не было мобильного телефона, потому, «что котам мобильники не положены!» Талантливый физик Федя легко разрешил возникшую проблему: он предложил привлечь к путешествию пса Шарика, который должен постоянно бегать между Простоквашино и Федей, передавая сообщения о ходе путешествия. Матроскин принял предложение.

Часть 1. План путешествия.

Как настоящий физик Федя решил построить теоретическую модель путешествия. Он решил двигаться не спеша, с постоянной скоростью $V=3,0\text{ км/час}$ . Добравшись до своего друга, Федя будет гостить у него целый день. Шарик должен бегать с постоянной по модулю скоростью ровно в три раза превышающей скорость Феди $u=3v$ .

По плану, Шарик должен выбежать из дома через время $\tau_0=5,0\text{ мин}$ после Феди, догнав его, он должен тут же повернуть обратно и вернуться домой, передав сообщение, снова бежать за Федей, догнать его, вернуться домой и так далее… После того, как Шарик предаст последнее сообщение о том, что Федя успешно добрался до деревни Кефирино, он получит свое вознаграждение и останется дома. Временем встреч следовало пренебречь.

1.1 Рассчитайте скорость движения Феди в «метрах в минуту» и дальше пользуйтесь этими единицами измерения (метрах и минутах).

1.2 За какое время Федя должен дойти до конечной цели?

1.3 Запишите в символьном виде закон движения Феди $x_0(t)$ (зависимость расстояния от бабушкиного дома $x_0$ от времени $t$ ). Постройте график планируемого закона движения.

Для этого используйте бланк №1. Сначала подумайте, а потом стройте!

1.4 Найдите (получите формулу в общем виде, а затем рассчитайте численные значения) в какие моменты времени $\tau_k$ Шарик будет возвращаться домой.

1.5 Найдите (получите формулу в общем виде, а затем рассчитайте численные значения) в какие моменты времени $t_k$ и в каких точках $x_k$ Шарик должен встречаться с Федей.

1.6 Рассчитайте какой путь $L$ должен пробежать Шарик.

1.7 На бланке №1 постройте график закона движения Шарика.

Часть 2. Путешествие.

В этой части задачи рекомендуем использовать промежуточные численные расчеты.

Построенный график движения Федя взял с собой и выдал Шарику (видно и он относится к талантливым физикам в своем виде). Первые две встречи Шарика с Федей прошли строго по графику. Однако к третьей встрече Шарик опоздал на время $\Delta t_1=15\text{ мин}$ . Федя понял, что после возвращения домой Шарик какое-то время $\Delta\tau_1$ отдыхал в тенечке под забором.

2.1 Найдите сколько времени $\Delta\tau_1$ Шарик отдыхал возле дома.

Шарик получил законную взбучку за опоздание и категорическое указание: к следующей встрече полностью восстановить разработанный график движения, то есть четвертая встреча должна произойти в расчетное время. Видимо, Федя убежден в наличии физических знаний и математических способностей у Шарика. Временем «дружеской беседы» можно пренебречь и в этом случае.

2.2 С какой средней скоростью должен бежать Шарик, чтобы четвертая встреча произошла в расчетное время? В какой момент времени Шарик вернется домой в этот раз?

Шарик выполнил поставленную задачу – четвертая встреча произошла точно в расчетное время! После этого он получил возможность совершить очередной круг с прежней, плановой скоростью. Шарик легко добежал до дома в Простоквашино, доложил Матроскину и побежал обратно! Каково же было его удивление, когда от догнал Федю точно на входе в деревню Кефирино, хотя по плану Федор должен был прийти в нее раньше! Шарик понял, что Федя тоже где-то немного отдохнул!

2.3 Сколько времени $\Delta t_2$ отдыхал Федя?

Распрощавшись с Федей, Шарик честно, по графику вернулся домой и получил законное вознаграждение!

2.4 Постройте на бланке №2 графики реальных законов движения Федора и Шарика.

2.5 Рассчитайте, на сколько Шарик удлинил свой путь $\Delta L$ из-за незапланированного отдыха.

Не забудьте сдать бланк с построенными графиками!

Оригинальный бланк с заголовком, шифром работы и полной пустой сеткой.

Решение

Решения задач. Задача 9-1. «Федя – путешественник»

1.1 Пересчет скорости проводится традиционно

v=\frac{3,0\text{ км}}{1,0\text{ час}}=\frac{3000\text{ м}}{60\text{ мин}}=50\text{ м/мин}.\qquad (1)

1.2 Время движения Феди

T=\frac Sv=\frac{5000\text{ м}}{50\text{ м/с}}=1,0\cdot10^2\text{ мин}.\qquad (2)

2.1 Сначала (в течении промежутка времени $T$ ) Федя движется равномерно, а затем остается в покое, поэтому

x_0(t)=\begin{cases}vt,&\text{при }t\le T,\\S,&\text{при }t\ge T.\end{cases}\qquad (3)

График закона движения показан на рис. 2.

1.4–1.5 Изобразим схематически законы движения Феди и Шарика (рис.1). Пусть Шарик в очередной раз вернулся домой в момент времени $\tau_{k-1}$ . Следующая встреча с Федей произойдет в момент времени $t_k$ , в точке с координатой

x_k=vt_k.\qquad (4)

Эту же координату можно выразить из закона движения Шарика на этом участке

x_k=u(t_k-\tau_{k-1}).\qquad (5)

Оригинальный научный рисунок с полными осями, подписями, стрелками, контурами, данными и исходными границами.

Приравнивая эти выражения, получим

u(t_k-\tau_{k-1})=vt_k\quad\Rightarrow\quad t_k=\frac u{u-v}\tau_{k-1}.\qquad (6)

Очевидно, что назад Шарик будет бежать столько же времени, как и до встречи, поэтому

\tau_k-t_k=t_k-\tau_{k-1}.

Из последних соотношений находим

\tau_k=2t_k-\tau_{k-1}=2\frac u{u-v}\tau_{k-1}-\tau_{k-1}=\frac{u+v}{u-v}\tau_{k-1}.\qquad (7)

Полученное соотношение показывает, что времена возвращения Шарика домой образуют геометрическую прогрессию, которую в явном виде можно записать (с учетом $u=3v$ )

\tau_k=\frac{u+v}{u-v}\tau_{k-1}\quad\Rightarrow\quad\tau_k=\tau_0\left(\frac{u+v}{u-v}\right)^k=\tau_0\cdot2^k.\qquad (8)

Из формулы (6) выразим моменты встреч Шарика с Федей

t_k=\frac u{u-v}\tau_{k-1}=\frac u{u-v}\left(\frac{u+v}{u-v}\right)^{k-1}\tau_0=\tau_0\cdot\frac32\cdot2^k\qquad (9)

и координаты мест встречи

x_k=vt_k=\frac u{u-v}\left(\frac{u+v}{u-v}\right)^{k-1}v\tau_0=v\tau_0\cdot\frac32\cdot2^k.\qquad (10)

По полученным формулам легко рассчитать численные значения времен и координат (см. Таблицу 1)

Таблица 1. Планируемый график движения Шарика.

$k$	Возвращение к дому $\tau_k$ (мин)	$x$ (м)	Встреча с Федей $t_k$ (мин)
0	5,0	0
1		7,5	375
	10	0
2		15	750
	20	0
3		30	1500
	40	0
4		60	3000
	80	0
5		120 (?)	6000 (?)
		113	5000
	147	0

Расчет показывает, что к четвертой ожидаемой встрече Федя уже дойдет до своей цели. Поэтому Шарик в четвертый раз встретит Федю в точке $x_4=5000\text{ м}$ , в момент времени

t_5=\tau_4+\frac Su=80+\frac{5000}{150}=113\text{ мин}.\qquad (11)

Последний раз Шарик должен вернуться домой в момент времени

\tau_5=\tau_4+2\frac Su=80+2\frac{5000}{150}=147\text{ мин}.\qquad (12)

1.6 Так как Шарик должен двигаться с постоянной по модулю скоростью, то путь, который он должен пробежать равен

L=u\tau_5=150\cdot147=22000\text{ м}=22\text{ км}.\qquad (13)

1.7 График закона движения Шарика также показан на рис.2.

2.1 Если Шарик отдыхал в течении промежутка $\Delta\tau_1$ и опоздал на время $\Delta t_1$ , то она бежал в течении промежутка времени $((t_3+\Delta t_1)-(\tau_2+\Delta\tau_1))$ и догнал Федю в точке $x=v(t_3+\Delta t_1)$ , поэтому должно выполняться соотношение

u((t_3+\Delta t_1)-(\tau_2+\Delta\tau_1))=v(t_3+\Delta t_1),\qquad (13)

из которого определяем

\Delta\tau_1=\frac{u-v}u(t_3+\Delta t_1)-\tau_2=\frac23\cdot45-20=10\text{ мин}.\qquad (14)

Так десятиминутная задержка привела к пятнадцатиминутному опозданию, взбучке, лишним километрам, да еще и к необходимости резко увеличить скорость бега!

2.2 Так как неудачная встреча Шарика с Федей произошла в точке $x'_3=v(t_3+\Delta t_1)=2250\text{ м}$ , в момент времени $t'_3=45\text{ мин}$ , а следующая встреча в момент времени $t=\tau_4=60\text{ мин}$ в точке $x_4=3000\text{ м}$ , то средняя скорость, которую должен развить Шарик должна быть равна

\langle u\rangle=\frac{x'_3+x_4}{\tau_4-t'_3}=\frac{5250\text{ м}}{15\text{ мин}}=350\text{ м/мин}.\qquad (15)

Судя по документальной хронике – такая скорость Шарику доступна!

Возвратится же он домой после этой бешеной гонки в момент времени

\tau'_3=t'_3+\frac{x'_3}{\langle u\rangle}=45+\frac{2250}{350}=51\text{ мин}.\qquad (16)

Как видно, он более чем на 10 минут опоздал и на встречу с Матроскиным, что привело к еще одному воспитательному мероприятию!

2.3–2.4 По плану Федя должен был входить в деревню в момент времени $T=100\text{ мин}$ , а в реальности он вошел в нее в момент времени $\tau_5=113\text{ мин}$ . Следовательно, он отдыхал в течении промежутка времени

\Delta t_2=\tau_5-T=13\text{ мин}.\qquad (17)

Где именно Федя устроил место отдыха сказать невозможно. Поэтому на графике закона движения этот горизонтальный участок может находиться в произвольном месте (на рис.3 – сразу после встречи с Шариком).

2.6 Из графика видно, что удлинение пути произошло из-за того, что третья встреча произошла дальше, чем запланировано, при этом

\Delta L=2(x'_3-x_3)=2\cdot(2250-1500)=1500\text{ м}=1,5\text{ км}.\qquad (18)

Делайте все вовремя!

Оригинал в Архива: 2010_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2010_theoretical_solutions.pdf