BelPhO 2011, Областен етап, 9–11 клас — Задача 3. 10 класс. Задание 1. Скатывание.

Часть 1. Скатывание цилиндра.

1.1 Результаты измерений зависимости времен движения $t_k$ для различных пройденных расстояний $l_k$ от начала отсчета приведены в таблице 1 (проведено 4 измерения закона движения и рассчитаны средние значения $\langle t \rangle$). Угол наклона плоскости равен $\alpha = 0{,}013$.

Таблица 1

На рис. 1 показан график закона движения цилиндра. Полученная кривая похожа на параболу, что делает возможным предположение о равноускоренном движении цилиндра.

1.2 Для проверки закона равноускоренного движения можно провести следующую обработку результатов. При таком предположении закон движения имеет вид

Эту функцию можно привести к линейному виду с помощью преобразования

Где отношение $\frac{l}{t}$ имеет смысл средней скорости движение на всем интервале пути $l$.

Построенный по экспериментальным данным график зависимости (2) показан на рис.2. Хорошо видно, что полученная зависимость близка к линейной, что подтверждает равноускоренный характер движения. Из формулы два следует, что коэффициент наклона графика равен $\frac{a}{2}$, где $a$ - ускорение цилиндра. Найденный по графику коэффициент наклона равен $3{,}1\frac{\text{см}}{\text{с}^2}$, откуда следует, что ускорение цилиндра равно

С использованием метода наименьших квадратов можно определить значение коэффициента наклона

Таким образом, погрешность определения ускорения составляет примерно 13%.

1.3 При качении цилиндра его потенциальная энергия $mgh = mgl\sin\alpha$ переходит в кинетическую энергию поступательного и такую же энергию вращательного движения (так как все точки тонкостенного цилиндра находятся на одном расстоянии от оси вращения). Поэтому без учета трения закон сохранения энергии при скатывании цилиндра имеет вид

Используя известную формулу для пути при равноускоренном движении, находим, что ускорение цилиндра равно $a = \frac{g}{2}\sin\alpha$.

Подстановка численных значений дает следующий результат

Что в пределах погрешности согласуется с экспериментальным значением (3).

Часть 2. Скатывание шестигранного карандаша.

Результаты измерений законов скатывания шестиугольного карандаша при разных углах наклона плоскости представлены в таблице 2. Ниже показаны графики этих зависимостей.

Таблица 2

Графики показывают, что при всех углах наклона движение карандаша является равномерным. В таблице 3 представлены значения средних скоростей движения (найденные по графикам рис. 3), а также отношение этой скорости к углу наклона $C = \frac{\langle v \rangle}{\alpha}$.

Таблица 3.

Из таблицы (график по 3 точкам строить излишне) следует что отношение $C = \frac{\langle v \rangle}{\alpha}$ остается примерно постоянным, что подтверждает наличие прямой пропорциональной зависимости между средней скоростью и углом наклона (при столь малых углах синус угла равен самому углу, измеренному в радианах). Среднее значение коэффициента пропорциональности C=183.

Основная причина равномерности движения – потери энергии при неупругих ударах граней карандаша о плоскость при перекантовке через ребро!

Часть 3. Скатывание круглого карандаша.

На графике 4 показаны законы скатывания круглого карандаша при двух различных углах наклона плоскости (ученики должны провести измерения для одного угла). Видно, что движение не является равномерным. По методике, изложенной в Части 1 данной задачи можно показать (см. рис. 5), что движение близко к равноускоренному. Видимо, и в этом случае трение и сопротивление воздуха не играют существенной роли.