Съдържание

BelPhO 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Задание 9.1 Скатывание по склону.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Прочитаны все 43 исходные страницы: 13 условий и 30 архивного ключа. Шесть целых экспериментов для 9, 10 и 11 классов. Пятьдесят напечатанных нумерованных или буквенных запросов, включая оцениваемый вопрос 0, и целая ненумерованная вторая часть электронного секундомера. Два различных задания 9 класса буквально обозначены 9.1. Сохранены всё оборудование, инструкции, методы, формулы, измерения, таблицы, графики и конечные объяснения. Баллы и подробные рубрики не напечатаны. Ключ не содержит отдельных измерений с обеими гирями для 9.1 (электронные весы), запроса 3.3, и отдельного опыта с неизменной суммой высот для 10-2, запроса 2.4. Пробелы не заполнены догадкой. Печатные научные противоречия, испорченные обозначения единиц и перекрытие графиков сохранены с отдельными примечаниями читателя. Не встроенный шрифт Symbol прочитан по точному MuPDF-рендеру оригиналов; старые рендеры сохранены. Ключ атрибутирован архиву.

Титульный лист условий

А.И. Слободянюк, В.В. Барашков, Н.В. Козловский. Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Гомель 2012.

Условие

Приборы и материалы: два штатива, диск на палочке, нитки, секундомер, линейка.

Вам предстоит выполнить достаточно традиционное задание — исследовать движение тела, движущегося по наклонной плоскости. Правда, в данном задании есть несколько отличий от традиционного «брусок массы $m$ находится на наклонной плоскости…»:

задание экспериментальное, а не теоретическое;
в вашем распоряжении не брусок, а диск на палочке от шашлыка;
он не скользит, а скатывается;
и не по наклонной плоскости, а по нитям-направляющим;
надо учитывать не только трение, но и сопротивление воздуха (который не удалось откачать из рабочего кабинета);
скорость движения несколько меньше, чем у изображенного на заставке горнолыжника, а в остальном — все традиционно.

Следите, чтобы нити были все время натянуты. Вы самостоятельно можете изменять разность уровней крепления нитей $h$ (не забудьте измерять и записывать эту величину). Длину нитей оставляйте неизменной. На нитки нанесены равноотстоящие метки, используйте их в качестве шкалы.

Диск на нитях-направляющих; разность уровней h.

При измерениях используйте секундомер с запоминанием промежуточных этапов. При необходимости сначала (до первой метки) диск можно немного подтолкнуть.

При необходимости, обращайтесь к членам жюри за консультацией.

Часть 1.

Установите разность уровней крепления нитей $h=15\text{см}$ .

1.1 Экспериментально исследуйте закон движения оси диска — зависимость его координаты от времени. Кратко опишите, как вы проводили измерения.

1.2 Постройте график полученной зависимости.

1.3 Укажите, можно ли считать движение диска равномерным. Ответ обоснуйте.

1.4 Считая движение диска равноускоренным, получите теоретический вид зависимости средней скорости (от прохождения первой метки) от времени движения (от первой метки). На основании своих экспериментальных данных постройте график зависимости средней скорости (от прохождения первой метки) от времени. Укажите, свидетельствует ли полученный график о том, что движение является равноускоренным.

1.5 Считая движение диска равноускоренным, получите теоретический вид зависимости средней скорости прохождения расстояния между двумя последовательными метками от времени движения. На основании своих экспериментальных данных постройте график зависимости этой средней скорости от времени движения. Укажите, свидетельствует ли полученный график о том, что движение является равноускоренным.

1.6 Выделите интервал пути, пройденного диском, на котором вы можете считать движение равноускоренным. Обоснуйте выбор этого интервала.

Часть 2.

В дальнейшем для расчета ускорений используйте именно этот временной интервал. Также используйте только один способ измерения (и обработки) ускорения, по вашему выбору — выбор обоснуйте.

2.1 Измерьте зависимость ускорения диска от разности уровней крепления нитей $h$ . (обязательно укажите как вы измеряли ускорения).

2.2 Постройте график полученной зависимости.

2.3 Предложите простую формулу, описывающую данную зависимость, найдите ее параметры. Обоснуй выбор вашей формулы.

Решение

Часть 1.

Для экспериментального изучения закона движения удобно засекать времена $t_k$ , когда ось диск проходит отметку координаты $x_k$ .

Отметки x0=0, x1, xk, xk+1 и времена t0=0, t1, tk, tk+1.

Результаты измерений времен прохождения отметок представлены в таблице 1 (для разности уровней $h=130\text{мм}$ ). На графике 1 показан закон движения оси диска.

Таблица 1. Изучение закона движения для $h=130\text{мм}$ .

$k$	$x_k$ , мм	$t_k$ , с	$\langle v\rangle_k$ , мм/с	$t_{\text{ср.}}$ , с	$v_k$ , мм/с
0	0
1	50	3,41	14,66
2	100	6,05	16,53	4,73	18,94
3	150	8,29	18,09	7,17	22,32
4	200	10,33	19,36	9,31	24,51
5	250	12,14	20,59	11,24	27,62
6	300	13,84	21,68	12,99	29,41
7	350	15,40	22,73	14,62	32,05
8	400	16,98	23,56	16,19	31,65
9	450	18,50	24,32	17,74	32,89
10	500	20,02	24,98	19,26	32,89

График 1. Закон движения; координата x в мм, время t в с.

График не является прямой линией, поэтому движение не может считаться равномерным.

Построим график зависимости средней скорости от времени. Причем среднюю скорость рассчитываем на интервале $[x_0,x_k]$ по формуле (результаты расчетов представлены в таблице 1):

\langle v\rangle_k=\frac{x_k}{t_k}.\qquad (1)

При равноускоренном движении, проходящем по закону

x=v_0t+\frac{at^2}{2},\qquad (2)

данная средняя скорость должна линейно зависеть от времени

\langle v\rangle=\frac{x}{t}=v_0+\frac{at}{2}.\qquad (3)

График показывает, что, строго говоря, движение не является равноускоренным, так как полученная зависимость не является линейной.

На данном же графике видно, что со временем средняя скорость возрастает медленнее, чем по линейному закону — сказывается влияние силы сопротивления воздуха.

Нескольку лучший результат (в смысле приближенности к равноускоренному движению) получается, если времена и координаты отсчитывать от первой (а не нулевой отметки) — в этом случае участок, который можно приближенно отнести к равноускоренному движению больше (6 начальных точек хорошо ложатся на прямую линию).

График 2*. Средняя скорость от времени со сдвигом.

Получим формулу для расчета средней скорости на интервале пути. Для этого запишем выражения для пройденных путей при равноускоренном движении

\begin{aligned}x_{k-1}&=v_0t_{k-1}+\frac{at_{k-1}^2}{2},\\x_k&=v_0t_k+\frac{at_k^2}{2}.\end{aligned}\qquad (4)

И вычтем первое равенство из второго:

x_k-x_{k-1}=v_0(t_k-t_{k-1})+\frac{a(t_k^2-t_{k-1}^2)}{2}.\qquad (5)

Из этой формулы следует выражение для средней скорости на интервале пути

v_{\text{ср.}k}=\frac{x_k-x_{k-1}}{t_k-t_{k-1}}=v_0+a\frac{t_k+t_{k-1}}{2}.\qquad (6)

Из этого выражения следует, что данную среднюю скорость необходимо рассматривать в зависимости от среднего арифметического времен прохождения концов интервала. Результаты расчетов также приведены в таблице 1. График зависимости показан на рис. 3. На этой зависимости участок равноускоренного движения выражен более четко, однако разброс точек более заметен, что связано с большими погрешностями при расчете разностей времен.

График 3. Средняя интервальная скорость от времени.

Интересно отметить, что расчет ускорения по зависимости 3 дает значение $a=(1{,}3\pm0{,}1)\text{мм}/\text{с}^2$ , по графику 2* $a=(1{,}3\pm0{,}4)\text{мм}/\text{с}^2$ .

Тем самым приходим к выводу, что оптимальным способом расчета ускорения является изучение зависимости средней интервальной скорости от времени. Т.е. по изучению зависимости (6).

Часть 2.

Результаты времен прохождения отметок приведены в Таблицах 2–3, там же приведены результаты расчетов ускорений (по наклону графика) для различных разностей высот крепления нитей. Графики полученных зависимостей показаны на рис. 4.

Отметим, что на основании подробного анализа результатов для $h=130\text{мм}$ достаточно было для каждой разности высот снять показания для 4 точек. Также допустимо рассчитывать ускорения алгебраически «по трем точкам» по формуле, которая следует из формулы (6):

a=2\frac{v_{\text{ср.}3}-v_{\text{ср.}2}}{t_3-t_1}.\qquad (7)

Расчеты дают близкие результаты, но их точность ниже.

Для получения вполне приличного результата достаточно провести измерения для трех углов наклона.

Таблица 2. Измерения ускорений.

$k$	$x_k$ , мм	$t_k$ , с ( $h=45\text{мм}$ )	$t_{\text{ср.}}$ , с ( $h=45\text{мм}$ )	$v_k$ , мм/с ( $h=45\text{мм}$ )	$t_k$ , с ( $h=65\text{мм}$ )	$t_{\text{ср.}}$ , с ( $h=65\text{мм}$ )	$v_k$ , мм/с ( $h=65\text{мм}$ )	$t_k$ , с ( $h=100\text{мм}$ )	$t_{\text{ср.}}$ , с ( $h=100\text{мм}$ )	$v_k$ , мм/с ( $h=100\text{мм}$ )
0	0	0			0			0
1	50	5,96			5,29			4,63
2	100	11,23	8,60	9,49	9,36	7,33	12,29	7,82	6,23	15,67
3	150	16,29	13,76	9,88	12,93	11,15	14,01	10,55	9,19	18,32
4	200	21,15	18,72	10,29	16,32	14,63	14,75	13,08	11,82	19,76
5	250	25,87	23,51	10,59	19,39	17,86	16,29	15,18	14,13	23,81
6	300	30,93	28,40	9,88	22,45	20,92	16,34	17,3	16,24	23,58
7	350	35,66	33,30	10,57	25,28	23,87	17,67	19,21	18,26	26,18
8	400	40,90	38,28	9,54	27,99	26,64	18,45	21,12	20,17	26,18
9	450	46,77	43,84	8,52	30,76	29,38	18,05	22,94	22,03	27,47
10	500	53,57	50,17	7,35	33,57	32,17	17,79	24,77	23,86	27,32
$a$ , $\text{мм}/\text{с}^2$		0,08			0,36			0,87

Таблица 2. Измерения ускорений.

$k$	$x_k$ , мм	$t_k$ , с ( $h=130\text{мм}$ )	$t_{\text{ср.}}$ , с ( $h=130\text{мм}$ )	$v_k$ , мм/с ( $h=130\text{мм}$ )	$t_k$ , с ( $h=165\text{мм}$ )	$t_{\text{ср.}}$ , с ( $h=165\text{мм}$ )	$v_k$ , мм/с ( $h=165\text{мм}$ )
0	0	0			0
1	50	3,41			2,79
2	100	6,05	4,73	18,94	5,03	3,91	22,32
3	150	8,29	7,17	22,32	6,84	5,94	27,62
4	200	10,33	9,31	24,51	8,54	7,69	29,41
5	250	12,14	11,24	27,62	10	9,27	34,25
6	300	13,84	12,99	29,41	11,43	10,72	34,97
7	350	15,4	14,62	32,05	12,71	12,07	39,06
8	400	16,98	16,19	31,65	14,03	13,37	37,88
9	450	18,5	17,74	32,89	15,26	14,65	40,65
10	500	20,02	19,26	32,89	16,49	15,88	40,65
$a$ , $\text{мм}/\text{с}^2$		1,30			1,95

График зависимости ускорения.

График 4 измерения ускорений и наложенный график 5 ускорения от разности высот. Исходное перекрытие сохранено.

График зависимости ускорения от разности высот точек крепления показана на рис. 5. Как и в случае поступательного движения тела по наклонной плоскости, ускорение пропорционально синусу угла наклона, поэтому зависимость ускорения от разности высот линейная. Наличие постоянной составляющей может быть объяснено присутствием почти постоянной силы трения качения, которая в данном случае может быть заметна из-за неизбежного прогиба нитей.

Аналитически данная зависимость описывается формулой

a=Ch+b,\qquad (8)

где $C=0{,}015\text{с}^{-2}$ , $b=-0{,}64\text{м}\cdot\text{с}^{-2}$ .

В заключение укажем, что теоретическое значение ускорения оси диска описывается формулой

a=2g\left(\frac rR\right)^2\frac{\Delta h}{L},

где $R,r$ — радиусы диска и его оси, соответственно, $L$ — длина нитей. В нашей установке теоретическое значение параметра

C=2\cdot10^4\frac{\text{мм}}{\text{с}^2}\left(\frac{2{,}8}{120}\right)^2\frac1{10^3\text{мм}}\approx0{,}011\text{с}^{-2},

что близко к найденному значению.

Происхождение архивного ключа

Архивный PDF содержит совпадающие задачи и их решения. Отдельное подтверждение официального статуса ключа организаторами не напечатано; решения атрибутированы архивному источнику.

Примечание читателя: ссылка на теоретический тур

Условие сохраняет ссылку на вторую задачу теоретического тура, часть 3. В архивной папке есть отдельные теоретические условия и ключ; они не подставлены в данный экспериментальный тур. Все 13 страниц экспериментальных условий и все 30 страниц совпадающего экспериментального ключа прочитаны. Дополнительные экспериментальные формы или схемы в папке не перечислены.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Скатывание по склону.

• В условии h=15см, в ключе пример h=130мм.

• Ключ ссылается на таблицы2–3, но обе таблицы на странице4 подписаны «Таблица2».

• График5 перекрывает график4 в оригинале; закрытые данные не дорисованы.

• В ключе b=-0,64м·с^-2, хотя график и таблицы используют мм/с²; единица сохранена буквально.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Электронные весы.

• Второе отличное задание9класса также напечатано9.1, в условии и ключе; не перенумеровано молча.

• В формулах1–2 и рисунке напечатано L−l1/2; значение массы линейки в формуле3 названо m1. Сохранено буквально, исправление на L/2−l1 или m0 не подставлено.

• Номер формулы7 использован дважды.

• В ключе m0≈40мВ, тогда как условие определяет m0 как численную массу тары в граммах; единица оригинала сохранена.

• Ключ объясняет настройку, но не приводит измеренных напряжений для обеих гирь из запроса3.3; значения не выдуманы.

• В таблицах1–2 номера колонок1–9/1–11 добавлены только как технические заголовки цифровых рядов; исходные данные сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10.1 Удержание, или как быть точнее!

• В формуле10 ключа коэффициент трения записан как arctg(h/sqrt(L²−h²)); не заменён на отношение безarctg.

• Напечатанные приближенные погрешности0,09/0,12 и40% сохранены, арифметическая поправка не внедрена.

• В начале части3 ключа phi=arcsin(h/L)≈0,305; h относится к ранее приведенному порогу15см, но это не уточнено в оригинальной строке.

• Нумерация формул перескакивает11→22; обе разные диаграммы подписаны график1, а текст упоминает рисунок2 перед графиком3. Все исходные подписи сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10-2 Закон Ома для … жидкости.

• Условие и ключ меняют абсолютное давление P и водяной напор p; исходные обозначения и множители rho*g сохранены, нормировка единиц не исправлена молча.

• В вертикальном ключе при R2=16R1 напечатано14/17, хотя предшествующая дробь (R2−R1)/(R2+R1) даёт15/17; сохранены текст и исходный график.

• Нумерация ключа5→16 и20→22; номер17 повторён.

• Таблица3 исследованияh2 имеет заголовокh1; сохранён буквально.

• Формула27 заканчивается знаменателемR2, тогда как предыдущие переходы и формула24 содержат2R2; коэффициент2 не добавлен молча.

• Таблица2 приh1=450,h2=315даётQ0,438, а опыт2.1 при техже высотахQ0,383; оба исходных значения сохранены.

• В ключе отсутствует отдельный опыт2.4 с неизменной суммой высот; итоговый эмпирический график и вся доступная формула сохранены, данные/ответ не выдуманы.

Примечание читателя: 11 класс · Задача 11-1 Что больше и кто быстрее?

• Часть2условия — единый ненумерованный запрос электронного секундомера; сохранена целиком, не раздроблена.

• В исходных формулах метки Ом/с/Д местами уже испорчены как Îì/ñ/Ä. MuPDF и старый Poppler показывают теже испорченныебуквы; это дефект оригинала, а не потеряSymbol. Литералы и точные исходныеформулы сохранены. Остальные корректные заголовки таблиц Ом/Д не изменены.

• Фраза «десятки тысяч» сохранена буквально, хотя крайние табличные прямые сопротивления20 и100000дают другой коэффициент.

• Число0,1170в конечной формуле сохранено буквально, расчёт не исправлен молча.

• Временно введенные технические заголовки колонок не являются дополнительными экспериментальными измерениями.

Примечание читателя: 11 класс · Задание 11-2. Градуировка фотометра и изучение отражения света.

• Оцениваемый вопрос0 сохранён отдельным родным подпунктом; портрет необходимый исходный рисунок.

• Название части2 повторяет «расходящийся пучок», хотя текст использует нейтральные фильтры; сохранено.

• В части4 условия буквально повторены вопросы от стеклянной пластинки, хотя заголовок/вводный абзац говорят два зеркала; сохранено.

• Ключ называет gamma поглощением, использует I=I0gamma^n, затем минус nln(gamma), и получает tau0.42 после gamma0.58. Напечатанные определения, знак, формулы, данные и итог сохранены без подмены.

• Ключ part4 ссылается на Table4, но напечатана Table5; при30° текст70–80%, а таблица0.89/0.41; обе версии сохранены.

Оригинал в Архива: 2012_experimental_problems.pdf · решение от архива: 2012_experimental_solutions.pdf